nummer 972, 01-06-2024

Enkele discus­sies over de havo-examens leiden bij mij tot de vraag: welke tussen­stap­pen zijn essenti­eel en welke niet? En nog belang­rij­ker: hoe kan een leer­ling dat weten of op z'n minst vermoe­den? En hoe zit het als een leer­ling niet precies op­schrijft wat in het correc­tievoor­schrift staat? Een correct en voldoen­de onder­bouwd ant­woord dient beloond te worden. Maar wat is voldoen­de onder­bouwd? Wat mogen leerlin­gen uit oude examens aflei­den over de inter­preta­tie en uitwer­king van vragen? In dit artikel ga ik op deze vragen wat nader in. Als eerste wil ik bena­druk­ken dat het op­schrij­ven van tussen­stap­pen belang­rijk is. Zo is het een omissie als de afgelei­de niet op papier staat wanneer je met die afgelei­de een extreme waarde bepaald. Zowel in het verslag van de centra­le examen­bespre­king georga­ni­seerd door de NVvW (kortweg: NVvW-verslag) voor wiskun­de A als voor wiskun­de B wordt regel 3.3 gememo­reerd. Bena­drukt wordt dat als een ant­woord vakin­houde­lijk correct is, score­pun­ten in de geest van het beoorde­lingsmo­del moeten worden gegeven. Veel bespro­ken kwes­ties vallen onder deze regel en de profes­sionali­teit van de correc­to­ren. Onver­antwoor­de aanname
Bij vraag 15 van het havo wiskun­de A-examen is het nodig om te weten dat het aantal gemeen­ten gelijk geble­ven is om te kunnen bepalen of het aantal gemeen­ten met een bepaal­de eigen­schap in een zekere periode met een kwart van het totaal aantal gemeen­ten is toegeno­men. De tussen­stap waarbij hier­over iets wordt opge­merkt is essenti­eel voor de conclu­sie en leerlin­gen die dit opmer­ken hebben groot gelijk. Hoewel uit de gege­vens niet is op te maken of het totaal aantal gemeen­ten inder­daad con­stant was, kijken de makers van het oor­spronke­lij­ke correc­tievoor­schrift en veel leerlin­gen niet verder dan hun neus lang is en trekken zij een ongefun­deer­de conclu­sie. Het is goed dat het correc­tievoor­schrift zodanig is aange­past dat nu ieder­een alle punten krijgt. Zo wordt voorko­men dat een leer­ling met meer inzicht minder punten krijgt dan een leer­ling die iets klakke­loos aan­neemt. Minder dan de helft?
Bij vraag 1 van hetzelf­de examen wordt ge­vraagd of het doel om tot minder dan de helft van \(15,1\) ton te komen wordt bereikt. Veel leerlin­gen komen tot een correc­te conclu­sie, maar onduide­lijk is waarmee zij de uitkom­sten van hun bereke­nin­gen verge­lij­ken. Het correc­tievoor­schrift eist een aparte bereke­ning van de helft, met als uit­komst \(7,55\) ton. Voor veel leerlin­gen is die stap echter niet nodig, omdat hun uit­komst van \(9,1\) ton duide­lijk meer is dan de helft. Het NVvW-verslag nuan­ceert daarom deze tussen­stap: de helft moet zijn bere­kend of tenmin­ste moet naar de helft verwe­zen worden. Duide­lijk dalend?
Bij vraag 5 moet berede­neerd worden dat een bepaal­de breuk daalt. Uitdruk­ke­lijk is vermeld dat geen getal­lenvoor­beeld of schets of teke­ning ge­bruikt mag worden. Leerlin­gen zouden snel kunnen zien dat die breuk gelijk is aan \(\frac{3,6 ⋅ 1,02^t}{2567 ⋅ 1,06^t}\). Met behulp van de rekenre­gels voor breuken en voor machten kunnen ze bereke­nen dat dit gelijk is aan \(\frac{3,6}{2567}⋅\left(\frac{1,02}{1,06}\right)^t\). Ook weten ze dat \(\frac{1,02}{1,06}<1\) en dat dus \(\left(\frac{1,02}{1,06}\right)^t\) afneemt.
Een leer­ling die iets derge­lijks op­schrijft laat blijken dat hij de kenmer­ken van een exponentiële functie en de groei­fac­tor daarin kent, zonder deze te benoe­men. Hoewel deze uitwer­king wiskun­dig volle­dig en correct is en aan­sluit bij wat leerlin­gen moeten weten, staat deze niet in het correc­tievoor­schrift.
Hierin staat wel dat groei­facto­ren vergele­ken moeten worden én dat het woord exponen­ti­eel genoemd moet worden. Het NVvW-verslag geeft aan dat in plaats daarvan het woord groei­fac­tor vol­staat. Leerlin­gen schrij­ven echter iets op zoals: als \(t\) toe­neemt neemt \(3,6⋅1,02^t\) toe en als \(t\) toe­neemt neemt \(2567⋅1,06^t\) toe; de noemer neemt sneller toe dan de teller en dus is de trend dalend. Ook deze redene­ring lijkt mij wiskun­dig volle­dig en correct. Een leer­ling kan bij het maken van het examen niet vermoe­den dat het noemen van een bepaald woord vereist is. Niet rele­vant
Dan nog een paar puntjes uit het havo-examen voor wiskun­de B. Bij vraag 3 wordt de grafiek van een functie eerst ten opzich­te van de \(x\)-as met \(-1\) verme­nigvul­digd en daarna met dezelf­de factor ten opzich­te van de \(y\)-as, waarna wordt ge­vraagd of een punt op de grafiek van de getrans­formeer­de functie ligt. Het is niet moei­lijk om weer te geven wat het beeld van elk punt \(P(x,y)\) van de grafiek wordt: \(P(x,y) → \)\(P'(x,-y)→ \)\(P''(-x,-y)\). Zowel de \(x\)- als de \(y\)-coördinaat worden vervan­gen door hun tegenge­stel­de. De beschre­ven verme­nigvul­digin­gen komen neer op spiege­len in de \(x\)-as gevolgd door spiege­len in de \(y\)-as, en de combina­tie is te beschou­wen als een punt­spiege­ling in de oor­sprong. Dit bete­kent dat het functie­voor­schrift voor de beeld­gra­fiek te schrij­ven is als \(x→ − f(-x)\). De volgor­de van de verme­nigvul­digin­gen doet bij de gegeven vraag­stel­ling niet ter zake. Het hoort bij de profes­sionali­teit van wiskun­dedocen­ten om dit te weten en een deel van de leerlin­gen ziet dit ook. Deze leerlin­gen kunnen, bij het maken van het examen niet weten hoe het correc­tievoor­schrift eruit ziet.
Het correc­tievoor­schrift zegt echter met het woord 'daarna' bij de ene oplos­sings­stra­tegie iets over de volgor­de, maar bij de andere oplos­sings­stra­tegie niet. Toch meldt het NVvW-verslag dat` een punt moet worden afge­trok­ken bij het omkeren van de volgor­de. Dat heeft vermoe­de­lijk te maken met het feit dat leerlin­gen soms een spiege­ling in de x-as verwar­ren met het 'tegenge­steld nemen' van de x. Echter, als je wilt toetsen of de volgor­de juist wordt gehan­teerd door leerlin­gen, moet je een opgave maken waarbij de volgor­de rele­vant is. En als je begrips­verwar­ring wilt opspo­ren, moet de vraag daarop toege­spitst zijn. Alles uit­schrij­ven?
Bij vraag 5 gaat om het vinden van de waarden van \(a\), \(b\), \(c\) en \(d\) in \(a+b \sin\left(c\left(x-d\right)\right)\). Leerlin­gen trainen tevoren op basis van oude examens en bekij­ken dan in de correc­tievoor­schrif­ten wat bij welk soort vraag van hen wordt ver­wacht. In (het eerste tijdvak van) 2024 (vraag 3) en 2023 (vraag 5) werd een verge­lijkba­re vraag gesteld. Toen hoefden de bereke­nin­gen niet alle­maal uitge­schre­ven te worden, nu bleek dat wel het geval. Geluk­kig is dat door een tweede aanvul­ling op het correc­tievoor­schrift nu gecorri­geerd. Zorge­lijk is dat sommige docen­ten zonder meer van mening waren dat het oor­spronke­lij­ke correc­tievoor­schrift gevolgd moest worden, zonder zich af te vragen of het rede­lijk is dit ineens van leerlin­gen te eisen. Goede redene­ring?
Vraag 7 vraagt om een redene­ring, zonder getal­lenvoor­beeld of grafiek, net zoals bij vraag 5 van het examen voor wiskun­de A. Aange­toond moet worden dat \(y=0\) de asymp­toot is van \(\frac{1}{g(x)}\), waarbij \(g(x)\) gelijk is aan \(\sqrt{6x-2}\).
Een leer­ling rede­neert dat de horizon­ta­le asymp­toot van de stan­daard­func­tie \(\frac{1}{x}\) gelijk is aan \(y=0\) is, en dat de grafiek van \(a+\frac{1}{x}\) als horizon­ta­le asymp­toot \(y=a\) heeft. Daar in het functie­voor­schrift voor of na de breuk geen getal staat, is geen sprake van een vertica­le ver­schui­ving en dus blijft de horizon­ta­le asymp­toot \(y=0\) is. Hoewel deze redena­tie correct is voor \(\frac{1}{x}\), is hij dat niet zonder meer voor \(\frac{1}{g(x)}\). Denk bijvoor­beeld aan \(g(x)=\sin(x)\). Toevoe­gen dat de teller net als bij de stan­daard­func­tie \(1\) is en vertel­len wat er gebeurt met de wortel­func­tie als \(x\) steeds groter wordt lijkt mij wel essenti­eel. Een docent die de gegeven redene­ring volle­dig goed­keurt, ziet dit blijk­baar over het hoofd. Snijden
Eén van de oplos­sings­stra­tegieën voor vraag 11, geti­teld ' Een cirkel met rakende en snijden­de lijnen', bestaat uit het snijden van een vertica­le lijn met een andere lijn, het bepalen van een lijn lood­recht daarop en het snijden van deze lijn met een horizon­ta­le lijn. Dat zijn heel wat stappen. Wanneer een leer­ling deze strate­gie volgt, komt hij uit op de verge­lij­king: \(\frac{3}{4}⋅x=8\). Om alle punten binnen te halen vraagt het correc­tievoor­schrift een exacte bereke­ning waaruit volgt dat \(x=6\). Dat is opmerke­lijk omdat eerder de bereke­ning waaruit blijkt dat de \(y\)-co&omuml;rdinaat van het snij­punt van een vertica­le lijn met een andere lijn \frac{16}{3}\) is, niet geno­teerd hoeft te worden en dit minder evident is. Dat vind ik vreemd.
Vanuit de verge­lij­king \((x-4)(4x-3)=0\) schrij­ven veel leerlin­gen zonder tussen­stap als oplos­sing \(x=4∨x=\frac{3}{4}\). Voor een wiskun­de B-leer­ling is het naar mijn idee evident dat uit \(\frac{3}{4}⋅x=8\) volgt: \(x=6\). Compli­ceren­de factor is dat al gegeven is dat de uit­komst \(6\) is (zie ook het artikel over het examen vwo wiskun­de B). Het argu­ment dat delen door een breuk niet vanzelf­spre­kend is en te veel leerlin­gen - tot en met vwo 6 - daar moeite mee hebben, lijkt me slecht houd­baar. Een goede leer­ling zou niet meer hoeven op­schrij­ven omdat andere leerlin­gen ergens moeite mee hebben. Geluk­kig conclu­deert het NVvW-verslag dat als de exacte bereke­ning wel is gedaan, maar niet geno­teerd, geen punten in minde­ring ge­bracht hoeven te worden. Niet uniek voor de havo
Overi­gens is deze proble­ma­tiek niet uniek voor de havo. Zo gaat vraag 3 van het wiskun­de A examen voor het vwo over de relatie tussen energie­behoef­te (\(E\)) van vogels in relatie tot hun gewicht (\(G\)). Daar wordt ge­vraagd om aan de hand van een formule van de afgelei­de van \(E\) te berede­ne­ren of de dage­lijk­se energie­behoef­te toene­mend of afne­mend stij­gend is. Die afgelei­de is \(\frac{dE}{dG}= \mbox{getal } ⋅G^{-0,25}\). Zonder deze formule te her­schrij­ven kunnen leerlin­gen weten dat \(G^{-0,25}\) afneemt als \(G\) toe­neemt. Toch staat in het correc­tiemo­del de eis om de afgelei­de als breuk te schrij­ven en in het NVvW-verslag vergade­ring staat dat het correc­tievoor­schrift gevolgd moet worden of dat er iets gezegd moet zijn over de negatie­ve expo­nent. Maar een leer­ling kan niet vermoe­den dat deze eis gesteld wordt en het is onge­past dit toch van hem te verlan­gen. Als examen­ma­kers willen dat leerlin­gen bepaal­de vaardig­he­den expli­ciet laten zien, moet de vraag zo zijn gecon­stru­eerd dat het nodig is die vaardig­heid expli­ciet te tonen of dat het niet toepas­sen van die vaardig­heid leidt tot een fout. Docen­ten moeten welis­waar het correc­tievoor­schrift volgen, maar niet blinde­lings. En leerlin­gen kunnen inder­daad lui zijn, maar zijn dat tijdens een examen in het alge­meen minder. Jeanne Kok

Twee jaar geleden besteed­den we voor het laatst aan­dacht aan de volgens velen overma­ti­ge hoeveel­heid tekst bij met name de wiskun­de A-examens (zie WiskundE-brief 931). Sinds­dien is de situa­tie nauwe­lijks verbe­terd. Hieron­der ga ik aan de hand van het jongste vwo examen wiskun­de A in op enkele taalpro­ble­men. Om de 'talig­heid' van eindexa­mens te kwanti­fice­ren letten we in de Wiskun­dE-brief op het aantal woorden dat ge­bruikt worden ter inlei­ding van een vraag. Formu­les worden hierbij niet meegere­kend. Hieron­der is te zien wat dat ople­vert voor de afgelo­pen jaren. De aantal­len zijn bewust afge­rond op tiental­len. Zoals hierbo­ven te zien is, zijn meer dan twee duizend woorden sinds 2021 regel, en het laatste examen past daar goed in. Er is ook een kwalita­tie­ve kant, de teksten in het laatste examen waren volgens de berich­ten lastig te begrij­pen, en over de inter­preta­tie van sommige passa­ges zijn forse discus­sies gevoerd onder collega’s. Hieron­der be­spreek ik een paar geval­len van onduide­lijkhe­den die mijns inziens voorko­men hadden kunnen worden. Banden­span­ning
Vraag 13 en 14 gaan over de banden­span­ning van landen­de vlieg­tui­gen. De inlei­ding op vraag 14 luidt als volgt:

"Het is voor de veilig­heid dus van groot belang dat de banden­span­ning van vlieg­tuig­banden voldoen­de hoog blijft. Gemid­deld verlie­zen banden 2% aan span­ning per dag. De banden­span­ning mag maxi­maal 5% lager zijn dan de aanbevo­len banden­span­ning. Banden worden vaak iets harder opge­pompt dan aanbevo­len. We gaan ervan uit dat de banden­span­ning elke ochtend gecon­tro­leerd wordt en dat de vlieg­tuig­band weer wordt opge­pompt op de dag voordat de banden­span­ning te laag zal zijn."

Vraag 14 luidt vervol­gens:Bereken na hoeveel dagen een vlieg­tuig­band met een 4% hogere banden­span­ning dan aanbevo­len, weer opge­pompt moet worden. De inter­preta­tie van de laatste zin bleek allesbe­hal­ve eendui­dig. De medede­ling dat de banden­span­ning elke ochtend wordt gecon­tro­leerd, sugge­reert dat je alleen dan over de banden­span­ning kunt spreken, maar geeft onvol­doen­de duide­lijk­heid. Je kunt ook uitgaan van een continu afnemen­de banden­span­ning die met behulp van het gemid­deld dage­lijks verlies op elk moment kan worden bere­kend. Je kunt dan bereke­nen dat als de banden op maandag­och­tend vroeg op 104,0% span­ning worden ge­bracht, in de loop van avond van vrijdag de banden­span­ning net onder 95,0% daalt. De band zou dan dus al op de donder­dag, dus na 3 dagen moeten worden opge­pompt. De bedoe­ling van de vraag bleek echter anders: De te lage banden­span­ning zou pas bij de contro­le op zater­dagoch­tend aan het licht gekomen kunnen zijn, dus er moet op vrijdag­och­tend, dat is na 4 dagen, worden opge­pompt. Er valt veel meer over deze vraag te op te merken, zoals het nogal gekun­stel­de criteri­um, en het negeren van de (on)nauwkeu­rig­heid van gege­vens, maar dat laat ik nu even liggen. Ik consta­teer slechts dat de vraag­stel­ling duide­lij­ker had gekund. Kort­zich­tig
Vraag 22 is een van de zes(!) vragen over bij­ziend­heid (myopie). De totale opgave telt 3 bladzij­den, maar echt duide­lijk­heid over de veel­voorko­men­de uitdruk­king ‘leef­tijd in jaren’ wordt niet gegeven. Zoals hope­lijk genoeg­zaam bekend kun je leef­tijd op twee manie­ren opvat­ten:

1. Als discre­te groot­heid die op je verjaar­dag ver­springt, of bij jonge kinde­ren elke maand.
2. Als een conti­nue groot­heid, waarbij het zinnig is om te spreken over een leef­tijd van bijvoor­beeld 31,687874 jaar (komt overeen­komt met circa 1 miljard secon­den).

Het kan beide, zolang er maar duide­lijk­heid wordt gegeven. In de opgave wordt er niet gerept over dit ver­schil, wel zijn er wat aanwij­zin­gen te distel­leren uit de opgaven en voor de docent ook uit het correc­tievoor­schrift. Bij vraag 18 is er sprake van een leef­tijd van 7 jaar en 3 maanden (dit noteer ik als 7;03). Daar moet zo blijkt uit het correc­tievoor­schrift 7,25 inge­vuld worden. Dat lijkt op het eerste gezicht mis­schien pleiten voor de conti­nue opvat­ting, maar vermoe­de­lijk gaat het om leeftij­den in het inter­val [7;03, 7;04> Vraag 20 geeft wat dat betreft meer duide­lijk­heid. Daar is sprake van 6-jarigen. Een 6-jarige is min­stens 6,000 Jaar oud en nog geen 7,000. Zonder nadere gege­vens kan/moet je ervan uit gaan dat zesja­rigen gemid­deld 6,5 jaar oud zijn. Er moet dus - als t conti­nue wordt genomen - met t=6,5 worden gewerkt moet worden. Echter, om vraag 20 te kunnen beant­woor­den moet voor t de waarde 6 worden inge­vuld, want anders kan het gevraag­de niet worden aange­toond. Bij vraag 21 gaat het om 10-jarigen en daar is de gegeven formule alleen juist als t=10 (en niet 10,5) wordt inge­vuld,. In deze twee examen­vra­gen lijkt t duide­lijk als discre­te variabe­le te worden gezien. Vraag 22 volgt direct op vraag 21. Het gaat om de formule \(A=0,91 \ln(t-4) +22,77\) waarin \(t\) weer de "leef­tijd in jaren" is, en \(A\) de afstand tussen pupil en de achter­kant van het net­vlies in mm is. Deze afstand wordt met in de loop van de jaren wat groter, en dat kan proble­men geven met het zicht. Ge­vraagd wordt wanneer, afge­rond in heel aantal jaren, de \(A\) groter is dan \(26\) mm. Zoals eigen aan logarit­mi­sche func­ties is \(A\) voor \(t-4>1\) een lang­zaam stijgen­de functie van \(t\). In het discre­te model ziet er zo uit: Met 39 jaar wordt de \(26,00\) mm over­schre­den, maar pas bij 65 jaar is \(A\), afge­rond op hele mm, echt groter dan \(26\) mm. Het correc­tiemo­del werkt hier ineens met het op het conti­nue model. Na \(38,7\) jaar wordt de \(26\) mm bereikt, en dat bete­kent dat op 38- jarige leef­tijd de grens al wordt over­schre­den. Deze aanpak is in zekere zin te verdedi­gen, maar is in strijd met het discre­te model dat blijk­baar eerder in de opgave werd gehan­teerd. Daarbij komen nog aller­lei vragen als hoe "groter dan \(26\) mm" precies moet worden opgevat. Tot mijn verbijs­te­ring werd van afron­den bij deze vraag een belang­rijk punt gemaakt. Anders afron­den dan bedoeld, werd zelfs een begrips­fout genoemd, geen afrond­fout. Deze diskwa­lifica­tie heeft ook mogelij­ke gevol­gen voor het cijfer. Afrond­fou­ten mogen per examen immers bij wiskun­de A slechts 2 keer worden aangere­kend. Het is wel erg verlei­de­lijk om in dit verband te spreken van kort­zichtig­heid. Of is "blinde vlek" een betere uitdruk­king? Tenslot­te twee licht­punt­jes. Bij het havo wiskun­de-B examen stond bij vraag 6 wel duide­lijk vermeld dat t een dagnum­mer was, en heeft het CvTE naar aanlei­ding van de discus­sie onder leraren beslo­ten dat een tempera­tuur van 15,97°C ook be­schouwd mag worden als "niet lager dan 16°C". Gerard Kool­stra

Ook dit jaar zien we weer veel discus­sie over het wel of niet tussen­door afron­den en het op­schrij­ven van tussen­stap­pen. Ik belicht dat in dit artikel voor het vmbo-examen. Daarbij ga ik ook in op het gemak waarmee docen­ten het werk van hun leerlin­gen kunnen nakij­ken. In maart 2021 publi­ceer­de Examen­blad een artikel dat ook in Eucli­des is gepubli­ceerd, met als titel ‘Het is goed als het goed is en voldoen­de onder­bouwd’. Hierin staat een uiteen­zet­ting met een scala aan voor­beel­den over hoe om te gaan met afron­den, tussen­door afron­den, stappen op­schrij­ven en het daarbij toeken­nen van punten. In het slot­woord staat “Als een eindant­woord juist is en voldoen­de onder­bouwd dan krijgt de leer­ling het maxima­le aantal score­pun­ten, maar alleen wanneer de correc­tor uit de onder­bou­wing van de leer­ling onweer­leg­baar kan vast­stel­len dat de leer­ling een juiste strate­gie heeft gevolgd.” Zo niet, dan wordt aan de hand van het beoorde­lingsmo­del ge­scoord. Dit lijkt mij het begin van een hoop discus­sie. De ene docent vindt een onder­bou­wing meer dan voldoen­de, waar een ander alle stappen uit het beoorde­lingsmo­del wil zien. Vraag 1
Een vraag waar naar mijn mening de getal­len onhan­dig zijn gekozen is vraag 1. Het gaat over een autorit van 1300 km in 12 uur en 47 minuten. Doel is om de gemid­del­de snel­heid in km/uur te bereke­nen. Hoewel in de sylla­bus staat dat de kandida­ten in princi­pe uit de context en de vraag­stel­ling moeten kunnen aflei­den met welke nauwkeu­rig­heid ze uitkom­sten moeten geven, wordt in de prak­tijk bijna elke nauwkeu­rig­heid goedge­keurd, mits er tech­nisch gezien maar correct wordt afge­rond. De eerste stap is natuur­lijk de tijd schrij­ven als één getal; dat kan in uren of minuten. We gaan voor het gemak even uit van uren 12,783.. uur. Sommige leerlin­gen rekenen verder met de afgeron­de waarde: 12,78. Deling met de afgeron­de waarde geeft 101,72.. en met het niet afgeron­de getal 101,69.. Afron­den op 1 deci­maal geeft in beide geval­len het zelfde ant­woord. Uiter­aard geldt dit ook als op een heel getal wordt afge­rond. Wanneer de verwach­te reis­tijd 'slimmer' was gekozen, bijvoor­beeld 12 uur en 41 minuten, zou tussen­tijds afron­den beter zicht­baar geweest zijn in het eindant­woord. Bij een reis­tijd van 12:41 zou tussen­tijds afron­den (op 2 decima­len) als eindant­woord opleve­ren 102,52.. terwijl anders de uit­komst 102,49... zou zijn. Ja, dat is mooi en geeft ons als docen­ten inzicht in het wel/niet tussen­door afron­den zonder het na te moeten rekenen. Soms zou het fijn zijn als bij het maken van de examens ook gedacht wordt aan de docent. Vraag 11
Deze vraag gaat over het bereke­nen van de hoek P in een dwars­doorsne­de van een pirami­de. In het verslag van de centra­le examen­bespre­king staat: “We hebben het CvTE ge­vraagd of bolle­tje 1 en 2 impli­ciet mogen.” Bolle­tje 1 gaat om een ver­schil tussen twee getal­len en bij bol 2 wordt de uit­komst gedeeld door 2. Vervol­gens wordt die uit­komst weer ge­bruikt bij bol 3 in het correc­tievoor­schrift. Bij bol 3 is dus goed te zien of bol 1 en 2 zijn doorlo­pen. Het impli­ciet aanwe­zig zijn van deze stappen lijkt mij na het lezen van het hierbo­ven aange­haal­de artikel "Het is goed als .." vol­strekt logisch. Dan voldoet een leer­ling toch precies aan de situa­tie die daar ge­schetst wordt. Hij laat zien dat hij de stappen heeft gezet, alleen heeft hij deze niet precies zo opge­schre­ven. Op de manier zoals hierbo­ven zou ik nog meer opgaven kunnen uitlich­ten. Omwille van de lengte van dit artikel doe ik dat niet. Voor een volgend examen zou het prettig zijn als de examen­ma­kers kri­tisch naar de antwoor­den en het correc­tievoor­schrift kijken. Bij randge­val­len kan het helpen om de getal­len soms net iets anders te kiezen. Chantal Hulst

Bij de discus­sies over de correc­tie van het vwo wiskun­de B examen waren er weer heel wat kriti­sche gelui­den over de opgaven en de aanwij­zin­gen voor de correc­tie te ‘beluis­te­ren’. Hieron­der probeer ik niet de discus­sies samen te vatten, maar ga ik op zoek naar achter­liggen­de oorza­ken. Een daarvan heeft te maken het sturen­de karak­ter van veel vragen. Het is al enige tijd gebrui­ke­lijk in centra­le examens om tege­lijk met de vraag (een deel van) het ant­woord te geven. Vaak wordt dan ge­vraagd het gestel­de te bewij­zen. Soms zijn er ook subtie­le­re aanwij­zin­gen, zoals het aantal oplos­sin­gen. De achter­liggen­de motie­ven zijn begrij­pe­lijk, en doen op het eerste gezicht sympa­thiek aan. Examen­ma­kers willen leerlin­gen een zetje in de goede rich­ting geven en voorko­men dat een foutief ant­woord bij een vraag de vervolg­vraag ‘verpest’. Er zijn echter nevenef­fec­ten waarvan vooral kandida­ten die ik maar even als ‘con­sciën­tieus’ om­schrijf, er worden minder subtie­le benamin­gen ge­bruikt, de dupe lijken te zijn. Een van die onge­wens­te nevenef­fec­ten is dat het lang niet altijd duide­lijk is wat er nog van de kandi­daat wordt ver­wacht. Dit slaat ook meteen terug op het werk van de examina­tor. Aanne­men of nagaan?
Zo werd bij vraag 1 van het laatste examen gegeven dat er twee buigpun­ten zijn met y-coördi­naat \(-125\). Ge­vraagd wordt te bewij­zen dat de \(y\)-coördinaat van de buigpun­ten \(-125\) is. Bij uitwer­king blijkt dat de tweede afgelei­de voor twee waarden van \(x\) gelijk is aan \(0\). Is het voldoen­de om te laten zien dat voor beide waarden de bijbeho­ren­de \(y\)-coördinaat gelijk is aan \(-125\), of moet er ook iets gezegd worden over teken­wisse­ling van de afgelei­de? Het eerste blijkt het geval, maar er zijn ook argumen­ten voor de mening dat het bewijs onvolle­dig is als niets over teken­wisse­ling wordt gezegd. Ernsti­ger is de situa­tie bij vraag 3. Het gaat om een kromme met de bewe­gings­vergel­ij­king: \(\left\{\begin{array}{}x(t)=&\sin(t) \left(\cos(t)-1\right)\\y(t)=&\cos(t)\end{array}\right.   \mbox{   met }0 ≤x≤2π\),
waarvan de teke­ning is gegeven. Ook is gegeven dat in drie punten van deze kromme de raak­lijn verti­caal loopt. Ge­vraagd wordt de coördinaten van deze drie punten exact te bereke­nen. De gebrui­kelij­ke aanpak is om na te gaan wanneer \(x'(t)\) gelijk is aan \(0\). Echter, dit levert nog geen garan­tie op dat er een vertica­le raak­lijn is. Wanneer tegelij­ker­tijd geldt \(y'(t)=0\) moet de situa­tie nader worden onder­zocht. Sommige leerlin­gen hebben inder­daad gekeken naar \(y'(t)\) en gecon­sta­teerd dat deze in het punt \((0,1)\) ook nul is. De conclu­sie die vaak werd getrok­ken is dat er dus geen vertica­le raak­lijn is. Deze conclu­sie is echter voorba­rig. Uit de discus­sie bleek dat leerlin­gen, in tegen­stel­ling tot een jaar of 50 geleden, niet systema­tisch worden voorbe­reid op deze situa­tie. Daar komt nog bij dat de situa­tie bij het punt \((0,1)\) een nadere bezin­ning op het begrip raak­lijn vraagt (zie ook dit stuk van K.P. Hart). Extra wrang is dat het bereke­nen van de coördinaten van dit punt, wat eigen­lijk werd ge­vraagd, zeer eenvou­dig is. Het maximum van \(x(t)\) is duide­lijk \(1\), en de bijbeho­ren­de \(x\)-waarde kan niet anders dan \(0\) zijn. De bedoe­ling van de opstel­lers van het examen zo blijkt uit het correc­tievoor­schrift is om "niet zo moei­lijk te doen" over de vertica­le raak­lijn. In een toelich­ting van de examen­lijn wordt het zo geformu­leerd:

"In deze vraag is al gegeven dat er 3 punten zijn, waar de raak­lijn verti­caal is. Deze drie punten worden gevon­den door dx/dt=0 te bereke­nen. Verder onder­zoek is dus op basis van dit gegeven niet nodig. nb Het is wel noodza­ke­lijk om alle vier de t-waarden waar­voor dx/dt=0 te bereke­nen om zeker te weten dat er op basis hiervan dé drie punten worden gevon­den die in de stam van de vraag worden genoemd en niet nog een extra 4e punt."

Deze motive­ring oogt niet erg consis­tent. Je mag er eerst wel van uitgaan dat er precies drie punten zijn, terwijl later ineens wel een contro­le nodig zou zijn... Onvolle­di­ge bewij­zen
Bij vraag 8 wordt ge­vraagd om te bewij­zen dat voor \(x≥0\) de functie \(f\) en \(g\) gegeven door \(f(x)=\sqrt{\frac{1}{2}x^2-1}\) en \(g(x)=\sqrt{2x^2+2}\) elkaars inverse zijn. Bij dit soort vraag­stuk­ken zijn domein en bereik van groot belang. Gedefi­ni­eerd op \(ℝ\) heeft bijvoor­beeld \(g\) geen inverse functie. Functie \(g\) heeft als domein \(\left[0,→\right\rangle\) en als bereik \(\left[\sqrt{2},→\right\rangle\), bij \(f\) is dat net anders­om. Dat is wezen­lijk, maar in het correc­tiemo­del wordt hier nauwe­lijks aan­dacht aan besteed. De bewe­ring in het zelfde correc­tievoor­schrift dat het aanto­nen dat \(f\left(g(x)\right)=x\) of \(g\left(f(x)\right)=x\) voldoen­de zou zijn kan eenvou­dig worden weer­legd met \(f(x)=x^2\) en \(g(x)=-\sqrt{x}\) voor \(x≥0\). Immers, \(\left(-\sqrt{x}\right)^2=x\), maar \(f\) en \(g\) zijn hier niet elkaars inverse, zoals ook het bereke­nen van \(\left(-\sqrt{x}\right)^2\) laat zien. Beide gelijk­he­den zouden moeten worden aange­toond. Ook bij vraag 14, over twee cirkels door twee gegeven punten die aan een gegeven lijn raken, wordt het de slordi­ge leer­ling makke­lijk gemaakt. Als aanwij­zing om beide middel­pun­ten te vinden wordt gegeven dat een wille­keu­rig punt \(P\) op de middel­lood­lijn te schrij­ven is als \((p,3p+32)\). Vervol­gens moet bewezen worden dat de lood­rech­te projec­tie van \(P\) op de gegeven raak­lijn gelijk is aan \((p-6,p+26)\). Het correc­tiemo­del geeft drie mogelij­ke benade­rin­gen. Bij de derde is het volgens het correc­tievoor­schrift voldoen­de als de kandi­daat laat zien dat \(P'\) lood­recht op de gegeven lijn staat. Dat is ontoe­rei­kend en dus onjuist, er zal ook aange­toond moeten worden dat \(P'\) op de raak­lijn ligt. Helder­heid
Het vwo-examen wiskun­de B van dit jaar, waarmee ik doel op de combina­tie van opgaven en correc­tievoor­schrift, is naar mijn indruk niet slech­ter dan andere jaren. De hierbo­ven gecon­stateer­de tekort­komin­gen zijn op veel plekken aan te wijzen. Ik vat het nog even samen: Vaak wordt zoveel weggege­ven dat het niet duide­lijk is wat er nog van de leer­ling wordt ver­wacht. Dit pro­bleem wordt verer­gerd door ant­woordmo­del­len die in sommige geval­len te makke­lijk langs de proble­men heen laveren, wat zich soms wreekt in nepbe­wij­zen, en in andere geval­len juist het stellen van eisen aan het ant­woord die niet overeen­ko­men met de vraag­stel­ling. In het verle­den heb ik vaker gepleit voor meer duide­lijk­heid over wat er van de kandi­daat ver­wacht wordt. Die duide­lijk­heid heeft betrek­king op de vraag­stel­ling, het ant­woordmo­del, maar ook op de voor­lich­ting rond het examen. Op dat laatste gebied is al wel het een en ander gedaan, maar mijn inziens nog lang niet genoeg. In dit examen waren er een stuk of acht van de in totaal 18 vragen waarbij al veel over het ant­woord ver­klapt is. Vragen waarbij het ant­woord al wordt gegeven, zouden naar mijn idee tot een minimum beperkt moeten worden. Het contro­le­ren dat een ant­woord goed is, is een wezen­lijk andere vaardig­heid dan het zelf bepalen van een ant­woord. Zo is het ontbin­den van een groot getal in priem­facto­ren veel moeilij­ker dan het contro­le­ren dat een gegeven ontbin­ding correct is. Ook het stellen van sturen­de vragen zou op examens geen regel moeten zijn. Een examen mag best flink wat opgaven bevat­ten waar de leer­ling zelf de stappen moet beden­ken. Als 'tegen­wicht' zou een examen ook best enkele 'stan­daardop­ga­ven' mogen bevat­ten waarbij meteen duide­lijk is hoe deze aange­pakt moet worden. Gerard Kool­stra

Hoe ver­beeld je onein­dig­heid op papier? Met deze vraag hielden M.C. Escher en Albert E. Bosman zich allebei bezig. Albert Bosman (1891-1961) was een ingeni­eur die werkte als wiskun­dele­raar én zich ontwik­kel­de tot een gepassi­o­neerd kunste­naar. Geduren­de de maand juni is in Escher in het Paleis in Den Haag naast prenten van Escher ook werk van Bosman te zien. Vorige week is veel bijna verge­ten werk van Bosman in boek­vorm gepre­sen­teerd. Escher en Bosman waren van 1944 tot en met 1961 overbu­ren in hun woon­plaats Baarn en vonden elkaar in het spelen met wiskun­di­ge princi­pes, vormen en ideeën. Beide kunste­naars maakten abstrac­te princi­pes visueel toegan­ke­lijk voor een breder publiek. Het bekend­ste werk van Bosman is de Boom van Pythago­ras, dat ook als poster in heel wat klaslo­ka­len heeft gehan­gen, of nog hangt. Maar die teke­ning vormde slechts het begin van een rijke produc­tie en vele gesprek­ken met over­buur­man Escher. Voor het eerst is hun werk samen te zien in de presen­ta­tie M.C. Escher & Albert E. Bosman: Een wiskun­di­ge verbin­te­nis in Escher in Het Paleis. De werken nemen één zaal in beslag en zijn geïnte­greerd in de perma­nen­te tentoon­stel­ling met topstuk­ken van M.C. Escher. Verlo­ren werk
Veel werk van Bosman is in de loop van de tijd in de verge­tel­heid geraakt. Fernand Bosman, klein­zoon van Albert, heeft recente­lijk dertig tekenin­gen en een aantal glasne­gatie­ven opge­spoord. Daaruit is het boek "Tekenen met wiskun­de" voortge­ko­men. Voor bijzon­derhe­den zie de rubriek "versche­nen".

Ook dit jaar kunnen wiskun­dedocen­ten in het voortge­zet onder­wijs een oorkon­de aanvra­gen voor hun leer­ling(en) met een 10 voor wiskun­de op de eind­lijst. Daar­naast maken leerlin­gen met een fout­loos gemaakt cen­traal eindexa­men (vmbo, havo of vwo) kans op een leuke prijs. Heeft u een excel­len­te leer­ling met een 10 voor wiskun­de op de eind­lijst? Dan kunt u deze leer­ling aanmel­den voor een oorkon­de van Plat­form Wiskun­de Neder­land. Helaas kan alleen een digita­le versie worden opge­stuurd, die u zelf kunt printen. U kunt deze oorkon­de dan bij de diploma-uitrei­king overhan­di­gen. De oorkon­de kan worden aange­vraagd tot en met dinsdag 1 juli 2025. Lees meer op de website van Plat­form Wiskun­de Neder­land.

Tijd­stip	Evene­ment (Volg de link voor details)	Organi­sa­tie
12 juni 2025	Meet-up rekenco­ördina­tor­en.	NVvW
1 juli 2025	Uiter­ste datum aan­vraag oorkon­de.	Plat­form Wiskun­de Neder­land
19 juli 2025	Uiter­ste inzend­da­tum Pythago­ras­prijs­vraag.	Pythago­ras
14 t/m 17 juli 2025	Confe­ren­tie Bridges.	TU Eindho­ven
21 t/m 25 juli	Zomer­cur­sus AI en wiskun­de.	Hoge­school Utrecht
19 en 20 septem­ber	Nazomer­cu­rsus Antwer­pen.	Plat­forms Wiskun­de Neder­land en Vlaande­ren
26 en 27 septem­ber	Nazomer­cu­rsus Amster­dam.	Plat­forms Wiskun­de Neder­land en Vlaande­ren
19 t/m 30 jan. 2026	Eerste ronde wiskun­de olympia­de.	St. Neder­land­se Wiskun­de Olympia­de

Auteurs:	Albert Bosman en Fernand Bosman(redac­tie)
Uitgeve­rij:	(eigen beheer)
Aantal pagina's:	140
ISBN:	978-90-9039855-6
Prijs:	€ 44,95

Albert Ernst Bosman (1891-1961) tekende duizen­den uren. Met potlood, passer en trekpen bracht hij patro­nen tot leven waarin wiskun­de, onder­zoek, schoon­heid en verwon­de­ring samen­val­len. Zijn tekenin­gen raakten bijna verge­ten, ver­stopt op zolders en in dozen. Met dit boek zien ze opnieuw het licht. Ze dagen uit tot aandach­tig kijken, vragen stellen en verder denken. Net als bij de tekenin­gen van zijn vriend en over­buur­man Maurits Escher. Wat gebeurt er als lijnen zich blijven herha­len? Waar raakt het eindige aan het oneindi­ge? De uitgave is full color en er is een genum­mer­de oplage van 500 stuks.

Bij Vonk werken bete­kent verbin­ding, autono­mie en vertrou­wen. U krijgt goede onder­steu­ning en een omge­ving waar u zich zelf verder kunt ontwik­ke­len, geïnspi­reerd raakt en anderen moti­veert. Wij zoeken wiskun­dedocen­ten voor ver­schil­len­de vmbo vesti­gin­gen:

1. Heer­hugo­waard, Docent Wiskun­de vmbo (0,5 fte) zwanger­schaps­vervan­ging
   • Het betreft voorna­me­lijk lessen in de eindexa­menklas­sen (klas 3 en 4). De vervan­ging duurt tot de herfst­vakan­tie.
2. Schagen, Docent Wiskun­de (0,6-1 fte)
3. Castri­cum, Docent Wiskun­de (totaal 1,2 fte)

Bent u die docent waar leerlin­gen later nog met veel plezier aan terug­den­ken? Dan ontvan­gen wij graag uw sollici­ta­tie! U vindt de vacatu­res op onze website.

Wilt u uw leerlin­gen verras­sen met een (oefen)toets? Gene­reer dan eens een toets, uiter­aard met antwoor­den, met de Math4­all Folio­straat. Gene­reer paral­lel­le toetsen met gerando­miseer­de vragen. Kunt u na de toets meteen uitleg­gen wat randomi­sa­tie is. Vraag een inlog aan voor de Math4­all Folio­straat bij Ton Otten (a.f.otten@math4­all.nl).
	Math4­all omvat de wiskun­de voor alle leerja­ren havo/vwo, de eerste leerja­ren van het vmbo en het tech­nisch mbo. Om oude uitgeef­patro­nen te doorbre­ken biedt Math4­all alles gratis aan voor wie dat wil. Het materi­aal is open source en wordt aangebo­den via de website en de Math4­all Folio­straat voor het genere­ren van maat­werkrea­ders.

Wiskun­de span­nend? Zeker wel!
Schenk aan­dacht aan lees­vaardig­heid in de wiskun­de­les met deze verha­lenbun­del.
Gemaakt met AI en ge­schikt voor de onder­bouw VO.

Kern­doel 17B: De school onder­steunt het gebruik van wiskun­de in ver­schil­len­de leerge­bie­den. In KERN Wiskun­de komen veel realis­ti­sche contex­ten aan bod, uit bijvoor­beeld econo­mie, natuur­kun­de, biolo­gie en aard­rijks­kun­de aan bod. Ook in de Prakti­sche Wiskun­de lessen gebrui­ken leerlin­gen wiskun­di­ge model­len, instru­men­ten, algorit­mes en formu­les in ver­schil­len­de leerge­bie­den. Daarbij zien leerlin­gen hoe deze ver­schil­len­de leerge­bie­den wiskun­de­taal en wiskun­di­ge repre­senta­ties gebrui­ken. Meer weten over de nieuwe kerndoe­len? Bekijk hier onze kerndoe­lenbro­chu­re.

.

Num­Works biedt de beste prijs-kwali­teitver­hou­ding via groeps­bestel­lin­gen! Gezins­le­den betalen slechts € 79,99 in plaats van € 89,99 per rekenma­chi­ne, en de school ont­vangt één gratis exem­plaar per 30 bestel­de appara­ten. Hoe gaat dit in zijn werk? Creëer een betaal­pot via uw Num­Works-account. Deel de unieke link met gezins­le­den Gezins­le­den betalen veilig online. Na de slui­tingsda­tum worden alle rekenma­chi­nes naar de school verzon­den. Creëer en beheer de betaal­pot op onze website of stuur ons een bericht voor meer informa­tie.

.

Speci­aal voor docen­ten is er gratis lesmate­ri­aal voor Texas Instru­ments techno­lo­gie! De lesmate­ria­len zijn gemaakt door docen­ten en kunt u in de klas gebrui­ken. Zoals opdrach­ten waarmee leerlin­gen stap voor stap met hun grafi­sche rekenma­chi­ne leren program­me­ren. Bekijk bijvoor­beeld de nieuw­ste opdrach­ten waarbij leerlin­gen aan de slag gaan met cyberse­curi­ty! Bekijk hier alle lesmate­ria­len.

Vraag de offline Casio fx-82NL emula­tor koste­loos aan! Naast de online Class­pad-emula­tor van de fx-82NL is er nu ook een eenvou­di­ge en snelle offline emula­tor voor docen­ten, die direct vanaf een USB-stick geopend kan worden. Interes­se? Mail naar educa­tie@casio.nl en ontvang de USB-emula­tor! www.casio-educa­tie.nl

Ook úw leerlin­gen aan de slag met de meest intuï­tie­ve, snelste en modern­ste grafi­sche rekenma­chi­ne op de markt? Neem contact op met Klaas Kuperus (klaas.kuperus@moravia-consul­ting.com) voor meer informa­tie en ontvang een HP Prime docen­tenmo­del voor u en/of de sectie.

• Zeer snelle nieuwe proces­sor, niet meer lang wachten op uitkom­sten
• Een touch­screen in kleur en zeer hoge resolu­tie, voor snel en duide­lijk plotten van grafie­ken
• Door het CvTE goedge­keur­de examen­mo­de
• Com­pleet Neder­land­se softwa­re en onder­steu­ning
• Beschik­baar vanaf € 99 voor uw leerlin­gen
• Volledi­ge support van Noord­hoff voor G&R en MW online beschik­baar

Neem ook eens een kijkje op www.hp-prime.nl voor veel meer informa­tie over de HP Prime rekenma­chi­ne en Neder­lands lesmate­ri­aal.