nummer 952, 2 juni 2024

Een goed princi­pe is om bij een bereke­ning reke­ning te houden met de nauwkeu­rig­heid van de gege­vens. In de school­wiskun­de is dat niet goed veran­kerd. Vaak wordt gedaan of de gegeven getal­len precies zijn en op het eind wordt in het gunstig­ste geval op het gevoel afge­rond. Bij de centra­le examens wiskun­de wordt de kandi­daat door het vermel­den van de gewens­te nauwkeu­rig­heid van het ant­woord in de prak­tijk vaak onthe­ven van de verant­woorde­lijk­heid die nauwkeu­rig­heid uit de pro­bleemsi­tua­tie af te leiden. Dat levert soms wat merk­waardi­ge situa­ties op. Zo wordt in het examen wiskun­de A/C van dit jaar¹⁾ ge­vraagd hoeveel gras­land er nog over is met de volgen­de gege­vens:

1. Er is ruim 150 000 ha verdwe­nen
2. Dat komt overeen met een afname met 14%

Het ant­woord moet worden afge­rond op duizen­den hecta­res. Dat is een onrea­listi­sche nauwkeu­rig­heid. Zelfs als die 14% exact zou zijn bete­kent elke duizend ha boven de 150 000 een ver­schil van ruim 6 duizend ha met het gewens­te ant­woord: 912 000 ha. Wanneer 14% in werke­lijk­heid iets minder is, bijvoor­beeld 13,86%, lopen de ver­schil­len nog verder op. Strikt genomen is het beoorde­lingsmo­del zelfs onjuist, omdat met een belang­rijk gegeven, ruim 150 000 ha, geen reke­ning gehou­den is. Marges
Opmerke­lijk is dat de examen­ma­kers soms opzette­lijk extra onnauw­keurig­he­den lijken te introdu­ce­ren door bepaal­de waarden te laten aflezen in een grafiek. In de vraag volgend op die over het gras­land moet de kandi­daat aflezen met hoeveel procent een bepaal­de vogel­soort in een bepaald gebied geduren­de twee perio­des jaar­lijks afneemt. Daarbij mag, zo blijkt uit het correc­tievoor­schrift, een marge van 0,2% (eigen­lijk procent­punt) gehan­teerd worden. Mede omdat de vraag betrek­king heeft op wat er geduren­de een periode van 16 jaar gebeurt, heeft deze marge gevol­gen voor het eindant­woord - dat moet worden afge­rond op hele procen­ten. Dat variëert van 77 tot (en met) 79%, terwijl 78% het beoogde ant­woord was. Van leerlin­gen wordt ge­vraagd om zich bewust te zijn van de gevol­gen van tussen­tijds afron­den; van examen­ma­kers zou mogen worden ver­wacht dat zij zich bewust zijn van de gevol­gen van de onnauw­keurig­heid bij het aflezen. Tekenen
Net als aflezen is tekenen een bron van onnauw­keurig­heid. In het examen wiskun­de C kwamen beide aspec­ten aan de orde bij vraag 8. Bij een logisti­sche kromme die het verband bena­dert tussen het gewicht en de lengte van het onder­been, de tarsus­lengte, van gevan­gen jonge leeuwe­ri­ken, werd ge­vraagd naar de maxima­le toename­snel­heid van het gewicht. Het komt erop neer dat de kandi­daat op een bijlage moet nagaan waar de grafiek het steilst is en daar de toename schat. Omdat een functie­voor­schrift is gegeven kan de opgave bij voldoen­de kennis exact worden opge­lost: het gaat om de afgelei­de in het buig­punt. Diffe­ren­tiëren hoort echter niet bij de examen­stof van wiskun­de C en zelfs het woord raak­lijn wordt volgens de sylla­bus niet bekend veron­der­steld. Toch gaat het beoorde­lingsmo­del uit van het tekenen van de raak­lijn 'in het steil­ste punt' van de grafiek. Er wordt trou­wens alleen zeer globaal verteld waar dat ligt. Via een paar 'mooie' punten die op de raak­lijn lijken te liggen komt men aan een maxima­le toename van 5/3 (g/mm). Dat is wat lager dan uit een bereke­ning van de afgelei­de in dat punt volgt: onge­veer 1,69. Omdat afge­rond moet worden op een heel getal heeft dat geen gevol­gen: het eindant­woord is 2 (g/mm). Rede­lijk?
Het beoorde­lingsmo­del vermeld uitdruk­ke­lijk: Als gevolg van teken- dan wel aflees­afwij­kin­gen kunnen de afgele­zen punten rede­lijk variëren. Bij correc­tie dient daarmee reke­ning gehou­den te worden. Dat lijkt alle­maal heel rede­lijk. Maar nu komt het. Sommige (veel?) leerlin­gen hebben twee punten gekozen op het gedeel­te van de grafiek, dat aardig een rechte lijn bena­dert, en met de helling van de lijn door deze punten de vraag beant­woord. Volgens het verslag van de examen­bespre­king moet dat worden ge­straft met 2 punten aftrek. Het is de moeite waard om hier eens nader naar te kijken.
Hier­naast is te zien om welk deel van de grafiek het gaat. De afstand tussen de rooster­lij­nen is op de bijlage onge­veer 1 cm. De grafiek is met zwart gete­kend, de raak­lijn in het buig­punt B met blauw. De helling daarvan is onge­veer 1,69. Verder zijn symme­trisch ten opzich­te van B twee punten P en Q gekozen op de grafiek, zoals hierbo­ven beschre­ven. Tenslot­te is met groen de lijn gete­kend door B met rich­tings­coëfficiënt 1,5. Deze lijn geeft de grens aan van accepta­be­le lijnen. Lijnen door B die steiler lopen dan de groene lijn hebben immers een rich­tings­getal dat afge­rond op een heel getal gelijk is aan 2. Het ver­schil tussen de beoogde raak­lijn en de in het examen­ver­slag afgewe­zen lijn, rood gestip­peld, door PQ is nauwe­lijks waar­neem­baar. Boven­dien ligt de helling van PQ nog ruim binnen de marge die is bepaald door de gewens­te afron­ding. Jammer genoeg lijkt er bij de examen­bespre­kin­gen wenig aan­dacht voor dit soort zaken te zijn. gk
----------------------------
1) Examen Vwo 2024 tijdvak 1 wiskun­de A vraag 13; Examen Vwo 2024 tijdvak 1 wiskun­de C vraag 4

Examen­ma­kers lijken er op uit te zijn steeds weer te laten zien dat wiskun­de van belang is voor de prak­tijk van alledag. We zien vaak (voor sommi­gen) aanspre­ken­de contex­ten, en ook min of meer prakti­sche vraag­stellin­gen. Dat lijkt een mooi uit­gangs­punt, maar er zitten ook minder mooie kanten aan. Hieron­der wordt dat toege­licht aan de hand van een vraag uit het havo wiskun­de-A examen van vorige maand. De betref­fen­de vraag¹⁾ heeft betrek­king op het trainen op hart­slag bij hardlo­pen. Daarbij is het van belang het type trai­ning af te stemmen op de maxima­le hart­slag. Deze laatste neemt af met de leef­tijd en er zijn aller­lei formu­les waarmee op basis van de leef­tijd de maxima­le hart­slag geschat kan worden. Voor een betrouw­ba­re bepa­ling is echter een goed opgezet­te test nodig, bij een sport­arts. Kennis van de maxima­le hart­slag kan helpen om trainin­gen op de juiste wijze te doen. Soms is het zaak er hard tegen­aan te gaan, soms juist om het rustig aan te doen. Om spor­ters en trai­ners wat meer houvast te geven zijn tabel­len als hier­naast ontwik­keld. Op zich een mooie context voor wat reken­vra­gen, maar de manier waarop dit ver­werkt is in een examen­vraag leidde bij mij tot kromme tenen. Proble­ma­tisch
Ik noem een paar punten die mij in negatie­ve zin opvie­len.

1. In de inlei­ding wordt een ogen­schijn­lij­ke nauwkeu­ri­ge formule opge­voerd waarmee 'getrain­de mannen' hun maxima­le hart­slag zouden kunnen bereken op basis van hun leef­tijd: M = 205,8 − 0,685 L. Dat is behoor­lijk mislei­dend.
2. In de vraag wordt een getrain­de man, Hans, van 48 jaar opge­voerd die een rustige duur­trai­ning gaat doen. De bedoe­ling is dat gebruik gemaakt wordt van de genoem­de formule, maar dat staat nergens expli­ciet.
3. Er wordt wel gemeld dat je je hart­slag via een horloge in de gaten kunt houden, maar niet dat deze meting vaak wat afwijkt van de werke­lij­ke hart­slag.
4. Er wordt met verwij­zing naar de tabel hier­naast uitdruk­ke­lijk ge­vraagd welke hartsla­gen moge­lijk zijn, met een ver­plich­te afron­ding op een heel getal. Dat is gezien de context weing zinvol.
5. Gezien de vereis­te afron­ding is het storend dat niet duide­lijk is wat precies de boven­gren­zen zijn bij de tabel hierbo­ven waar het soort trai­ning wordt gekop­peld aan percen­ta­ges van de maxima­le hart­slag.

De bedoe­ling
Bij examen­opga­ven mag ver­wacht worden dat de ver­strek­te informa­tie helder en correct is, en vooral dat duide­lijk is wat van de kandi­daat wordt ver­wacht. Pro­bleem is dat dit laatste soms pas het geval is na bestude­ring van het beoorde­lingsmo­del. Dat luidt in het geval van vraag 11: Blijk­baar is is het de bedoe­ling dat met de niet (op een heel getal) afgeron­de uit­komst voor de maxima­le hart­slag wordt doorge­re­kend. Dat is in lijn met een algeme­ne regel in het correc­tievoor­schrift (4a) en ook met wat vaak aan leerlin­gen wordt geadvi­seerd. Echter, regel 4b zegt: 'uitzon­de­ring zijn die geval­len waarin door de context wordt bepaald dat tussen­antwoor­den moeten worden afge­rond.' Als een man inder­daad de formule zou gebrui­ken om zijn maxima­le hart­slag te bepalen, ligt afron­den op een heel getal wel erg voor de hand.
Verder staat in de tweede regel van het beoorde­lingsmo­del dat 60% en 70% van de uit­komst van de formule wordt bepaald. Dus blijk­baar is het de bedoe­ling dat 70% bij het inter­val hoort en dat de grens niet bij 69,5% ligt. Beide uitkom­sten worden afge­rond, zo te zien naar het dichts­bijzijn­de hele getal. Tenslot­te wordt de kandi­daat geacht aan te geven wat precies de toege­sta­ne waarden voor de hart­slag zijn. Toch niet realis­tisch
Wie de context van de opgave serieus neemt kan de illusie krijgen dat het gaat om een reëel prak­tisch pro­bleem. Kijkend naar het beoorde­lingsmo­del is dat niet de bedoe­ling. Sterker nog: aandui­din­gen die, wel­licht onbe­wust, aange­ven dat het ant­woord eigen­lijk niet zo procies is te geven, zoals 'tussen 104 en 121' of 'van 104 tot 121', worden met argus­ogen bekeken en en soms zelfs reso­luut afge­keurd²⁾. Ik heb een jaar geleden (zie WiskundE-brief 932) al uitge­breid aan­dacht besteed aan de beteke­nis van het woord 'tussen'. In tegen­stel­ling tot wat sommi­gen, helaas blijk­baar goed verte­genwoor­digd in de centra­le examen­bespre­king, lijken te denken, is 'tussen', evenals 'tot', geen begrip dat binnen de wiskun­de precies is gedefi­ni­eerd. Voor het in- of uitslui­ten van grenzen zijn er wel de bekende (inter­val)nota­ties. Als je kijkt hoe het woord in de dage­lijk­se prak­tijk wordt ge­bruikt, zie je dat grenzen soms wel en soms niet worden uitge­slo­ten én dat het vaak niet duide­lijk en soms ook niet van belang is. Bij een veelge­bruikt reken­program­ma als Excel bete­kent 'tussen' trou­wens expli­ciet dat de grenzen meedoen. ASELECT­TUS­SEN(1;10) geeft een heel getal uit de verzame­ling {1;2;...9;10}. Eerlijk?
Hier wreekt zich een ander nadeel van de sugges­tie dat het gaat om het oplos­sen van een 'alle­daags' pro­bleem. Het ant­woord wordt ener­zijds geacht te worden gegeven in 'gewoon Neder­lands', ander­zijds heel precies, en vaak precie­zer dan in de context verant­woord is. Het gevoel dat leerlin­gen op oneigen­lij­ke zaken worden afgere­kend, komt in de discus­sies op het examen­fo­rum van de NvvW herhaal­de­lijk naar voren. Examina­to­ren, en gecom­mitteer­den, probe­ren leerlin­gen zo eerlijk moge­lijk te behande­len. Daarbij strijdt soms het gevoel van wat eerlijk is naar de kandi­daat, zoals honore­ren van een ant­woord dat eigen­lijk goed is, met het streven naar een zoveel moge­lijk gelijke beoorde­ling van alle kandida­ten lande­lijk gezien. Deze inner­lij­ke strijd wordt niet zelden voortge­zet in het overleg tussen de eerste en tweede correc­tor. Nu is discus­sie over examen­werk op zich geen slechte zaak, maar naar mijn gevoel worden er al vele jaren veel en langdu­ri­ge discus­sies gevoerd die eigen­lijk onnodig zouden moeten zijn. Ik heb het idee dat door een heldere vraag­stel­ling, met duide­lij­ke en reële eisen aan de beant­woor­ding, veel onduide­lijk­heid, verwar­ring en ver­schil van mening te voorko­men is. Echter, ik mis een gevoel van urgen­tie bij degenen die voor de examens verant­woorde­lijk zijn voor het oplos­sen van zaken die nog steeds niet goed gaan. Dat gevoel wordt ver­sterkt bij het lezen van antwoor­den van de Examen­lijn op vaak branden­de vragen van leraren. Mijn indruk is dat al te makke­lijk het pro­bleem bij de docen­ten en leerlin­gen wordt gelegd. Die zouden intus­sen moeten weten wat de, soms onge­schre­ven, bedoe­ling is van een vraag...
Wat meer (zelf)kritiek zou wense­lijk zijn. Gerard Kool­stra
------------------------------------
1) Zie deze pagina voor opgaven, bijlage, en correc­tievoor­schrif­ten.
2) Zie Verslag centra­le examen­bespre­king havo A mei 2024

Op dinsdag 15 oktober 2024 zal de wiskun­dedia­loog, een studie­dag voor wiskun­dedocen­ten, weer plaats­vin­den op de Radboud Univer­si­teit te Nijme­gen. De studie­dag richt zich op eerste- en tweede­graads docen­ten wiskun­de. Zij worden bijge­praat over de nieuw­ste ontwik­kelin­gen binnen het voortge­zet onder­wijs. Ieder jaar nodigen we interes­san­te spre­kers uit die hun experti­se en bevin­din­gen willen delen met collega's. Tussen de opening en de slotle­zing kunnen de deelne­mers in drie rondes kiezen uit een groot aanbod aan work­shops met thema's uit het tweede- en eerste­graads­ge­bied. Afslui­tend kunnen de deelne­mers tijdens een borrel gezel­lig bijpra­ten. Work­shop verzor­gen tijdens de Wiskun­dedia­loog?
Heeft u interes­sant materi­aal ontwik­keld of wilt u tijdens deze studie­dag uw kennis delen? Neem dan contact op met Tim van Lier (tim.vanlier@ru.nl) voor het verzor­gen van een work­shop. Wanneer uw work­shop wordt geselec­teerd, krijgt u gratis toegang tot de Wiskun­dedia­loog. Voorin­schrij­ving
Het duurt nog even, maar het is nu al moge­lijk om u in te schrij­ven voor de Wiskun­dedia­loog. Volg deze link voor meer informa­tie en de voorin­schrij­ving.

Bèta­part­ners en AlfaGam­mapart­ners organi­se­ren wederom een confe­ren­tie over kunstma­ti­ge intelli­gen­tie in het onder­wijs. Dit keer op het Regius College in Schagen. Het doel is te leren hoe kunstma­ti­ge intelli­gen­tie werkt en ge­bruikt kan worden in de les, waarbij er veel ruimte is voor onder­lin­ge uitwis­se­ling van best practi­ces. In het bijzon­der wordt inge­gaan op ChatGPT. Keynote spreker Antske Fokkens (VU) neemt u mee in de weten­schap achter ChatGPT. Daarna zijn er ver­schil­len­de paral­lelses­sies, zoals De over de wiskun­de achter ChatGPT, AI en ethiek en ChatGPT promp­ting voor docen­ten. De meeste paral­lelses­sies zijn gericht op docen­ten in de alfa- en gamma­hoek. Ook is er een sessie over de wiskun­de achter ChatGPT, geleid door Sharon Calor. Jordi Mellema, Ömer Eroğlu, Midas Schef­fers en David van Baten­burg werkten aan de UvA bij wiskun­dedidac­tiek aan een groeps­pro­ject met als doel onder­wijsont­wikke­ling of onder­wijsver­bete­ring. Zij hebben lessen ontwik­keld waarmee leerlin­gen van de middel­ba­re school de wiskun­de achter ChatGPT leren. In deze presen­ta­tie worden de lessen en resulta­ten van leerlin­gen gepre­sen­teerd. Het program­ma start om 14.30 uur en bestaat uit een keynote, gevolgd door twee paral­lelses­sies met een pauze ertus­sen. Het program­ma wordt afgeslo­ten met een diner tot 19.30 uur. Wilt u geïnspi­reerd raken door deze technie­ken of juist prakti­sche kennis opdoen over hoe u AI kunt integre­ren in uw lessen? Meld u via deze pagina aan voor de confe­ren­tie. Bij aanvang van de confe­ren­tie kunt u doorge­ven welke sessie u wilt volgen. Als u zelf materi­aal wil presen­te­ren op de uitwis­selings­markt, vul dan dit formu­lier in.

Ook dit jaar kunnen wiskun­dedocen­ten in het voortge­zet onder­wijs een oorkon­de aanvra­gen voor hun leer­ling(en) met een 10 voor wiskun­de op de eind­lijst. Daar­naast maken leerlin­gen met een fout­loos gemaakt cen­traal eindexa­men (vmbo, havo of vwo) kans op een leuke prijs. Heeft u een excel­len­te leer­ling met een 10 voor wiskun­de op de eind­lijst? Dan kunt u deze leer­ling aanmel­den voor een oorkon­de van Plat­form Wiskun­de Neder­land. Helaas kan alleen een digita­le versie worden opge­stuurd, die u zelf kunt printen. U kunt deze oorkon­de dan bij de diploma-uitrei­king overhan­di­gen. De oorkon­de kan worden aange­vraagd tot uiter­lijk vrijdag 5 juli 2024. Lees meer op de website van Plat­form Wiskun­de Neder­land.

Tijd­stip	Evene­ment (Volg de link voor details)	Organi­sa­tie
6 juni 2024	Wiskun­de D-dag.	TU Delft
19 juni 2024	Oud-Neder­land­se wiskun­de.	Beta­part­ners
5 juli 2024	Uiter­ste datum aan­vraag oorkon­de voor een 10.	Plat­form Wiskun­de Neder­land
22 t/m 26 juli 2024	Wiskun­dezomer­kamp C.	Vier­kant voor wiskun­de
29 juli t/m 2 aug. 2024	Wiskun­dezomer­kamp B.	Vier­kant voor wiskun­de
5 t/m 9 augus­tus 2024	Wiskun­dezomer­kamp A.	Vier­kant voor wiskun­de
23 en 24 augus­tus 2024	Vakan­tiecur­sus (Amster­dam).	Plat­form Wiskun­de Neder­land
6 en 7 septem­ber 2024	Vakan­tiecur­sus (Antwer­pen).	Plat­form Wiskun­de Neder­land
28 septem­ber 2024	Eens Eucli­des, altijd Eucli­des.	werk­groep Geschie­de­nis van de NVvW
15 oktober 2024	Wiskun­dedia­loog.	Radboud Univer­­si­­teit te Nijme­­gen

Heeft u ver­stand van wiskun­deonder­wijs en interes­se in digi­taal leren? Algebra­kit is op zoek naar een Educa­tief Support Manager. U vervult een brug­func­tie tussen tech­niek en onder­wijs. Dat doet u door het opzet­ten en geven van trainin­gen, het organi­se­ren van de support­afde­ling en het aanstu­ren van interne auteurs.

• 24 tot 40 uur per week, in overleg
• Moge­lijk­heid om deels vanuit huis te werken
• Locatie: Eindho­ven

Lees hier de volledi­ge vacatu­re.

Better­marks ontwik­kelt momen­teel een 2e editie van zijn vmbo wiskun­demetho­de in Neder­land. Om ons team te verster­ken zijn wij op zoek naar een Educa­tief Auteur. Meer weten? Ga naar deze pagina voor meer informa­tie.

Heeft uw school iemand nodig om de wiskun­­de D-lessen te verzor­­gen? Op drie scholen geef ik de wiskun­­de D-leerlin­­gen van havo en vwo online les volgens het 'flip the class­­room' princi­­pe. Per school school zijn de leerlin­gen ver­deeld over twee cluster­klas­sen. Volgend jaar heb ik ruimte voor een vierde school. Als regulie­re docent ben ik verant­woorde­lijk voor de lessen, feed­back, PTA, plan­ning, huis­werkcon­tro­le, SO’s, toetsen, nakij­ken, contact met mentor en ouders, etcete­ra. Inmid­dels heb ik acht jaar wiskun­­de D-erva­­ring met derge­­lij­­ke cluster­­klas­­sen, waarvan drie jaar digi­­taal, met succes. Bij interes­se kunt u contact opnemen via nynke­koop­mans@gmail.com of 06 10 13 23 98. Nynke Koop­­mans

Laat uw leerlin­gen extra voorde­lig hun rekenma­chi­ne bestel­len bij Eduwin­kel! Gebruik maken van centra­le aankoop van weten­schappe­lij­ke en grafi­sche rekenma­chi­nes en leve­ring op school of thuis? Bij Eduwin­kel bieden we uw leerlin­gen de scherp­ste prijzen en voor­waar­den voor alle merken. Neem snel vrij­blij­vend contact op voor een offerte via info@eduwin­kel.nl.

Voor docen­ten ✓ Eenvou­dig active­ren en beheren van link met korting ✓ U hoeft zelf geen geld in te zamelen van leerlin­gen/ouders Voor leerlin­gen en hun ouders/verzor­gers ✓ Zij profite­ren van € 10 korting, bij een goede rekenma­chi­ne ✓ Indivi­due­le en veilige online beta­ling Voor school ✓ Een gratis rekenma­chi­ne voor elke 30 bestel­de rekenma­chi­nes in een groeps­bestel­ling. Vragen? Stuur ons een mailtje via contact@num­works.nl.

Komend school­jaar gaan de eerste scholen starten met KERN Wiskun­de 4 havo. Bent u ook nieuws­gie­rig naar de eerste boeken? Reser­veer nu alvast KERN Wiskun­de 4 havo A deel 1 met 50% docen­tenkor­ting en krijg hem meteen binnen zodra hij beschik­baar is!

Leerlin­gen doen eenvou­di­ge sommen of weten­schappe­lij­ke en statis­ti­sche bereke­nin­gen op een handige manier met de weten­schappe­lij­ke rekenma­chi­nes van Texas Instru­ments! Om u als docent te onder­steu­nen zijn er sinds kort ver­schil­len­de instruc­tievi­deo’s Die laten stap voor stap zien hoe leerlin­gen bepaal­de bereke­nin­gen uitvoe­ren. Bekijk ze hier voor de TI-30XB en XS Multi­View™! Bekijk de instruc­tievi­deo's.

Wat doen leerlin­gen fout, hoe komt dat en wat doe je eraan? In dit webinar op donder­dag 27 juni verdie­pen we ons in de uitda­gin­gen en oplos­sin­gen rondom het onder­wijs in data en statis­tiek. Dit domein is van cruci­aal belang in het nieuwe examen­program­ma van zowel Wiskun­de A, C, als B en voor havo CM-leerlin­gen. Lonneke Boels zal tijdens dit webinar haar inzich­ten delen, geba­seerd op haar recente promo­tieon­der­zoek. Na dit webinar heeft u prakti­sche inzich­ten en handvat­ten die u direct kan toepas­sen in uw wiskun­de­les over statis­tiek. Meer informa­tie en aanmel­den