nummer 819, 2 septem­ber 2018

In WiskundE-brief 818 kon ik al melden dat de nieuwe wiskun­de-examens op het vwo goed gemaakt zijn en dat er op het havo herstel te zien was. Hieron­der bied ik u met behulp van wat grafie­ken een terug­blik over de laatste zes school­jaren. De grafiek hierbo­ven is geba­seerd op de de WOLF-scores na de eerste correc­tie van het eerste tijdvak van de schrif­telijke eindexa­mens. Deze gege­vens blijken achter­af wonder­wel overeen te komen met de gege­vens van de scholen na afloop van het tweede en soms het derde tijdvak zoals die door DUO in decem­ber worden gepubli­ceerd. Het lijkt erop dat er na de specta­culaire ontwik­kelin­gen in de jaren 2012 tot en met 2015 sprake is van enige stabili­satie. Daarbij moet worden opge­merkt dat bij havo-wiskun­de A, het groot­ste wiskun­devak op havo/vwo, geen sprake is geweest van een specta­culaire stij­ging van de cijfers. De gege­vens voor het vmbo Basis en Kader heb ik niet in de grafiek opgeno­men want daar zijn de laatste jaren de schrif­telijke examens voor een groot deel vervan­gen door digita­le examens.

Wiskun­de en andere vakken Hoe verhou­den de examen­cijfers voor wiskun­de zich met die voor andere vakken? Om jaar­lijkse fluctua­ties te omzei­len, heb ik voor een groot aantal vakken op havo en vwo de gemid­delde CE-cijfers voor de periode 2013-2018 bepaald. Zie de afbeel­ding rechts. In 2013 werd voor het eerst met de kernvak­kenrege­ling gewerkt. De kernvak­ken zijn Neder­lands, Engels en wiskun­de. Het vmbo is in deze verge­lijking niet betrok­ken want daar is alleen het vak Neder­lands een kernvak. De cijfers voor het vwo laten duide­lijk zien dat Engels, wiskun­de B en wiskun­de A er in die volgor­de boven­uit steken. Wiskun­de C heb ik vanwege het kleine aantal kandida­ten niet in de verge­lijking opgeno­men.

Wat zegt het ? Op de havo is Engels duide­lijk de koplo­per, gevolgd door wiskun­de B. De cijfers voor wiskun­de A zijn wat lager maar nog steeds hoger dan de cijfers voor de meeste andere vakken. In de "examen­monitor 2017" van het ministe­rie en in "De staat van het onder­wijs 2018" van de onder­wijsin­spectie werd nog gespro­ken over dalende examen­resulta­ten bij wiskun­de. Zie hier­voor ook WiskundE-brief 808. Die opmer­kingen blijken nu wat voorba­rig te zijn geweest. Wel lopen de resulta­ten voor wiskun­de bij het interna­tionale PISA-onder­zoek al jaren terug. Een door de Tweede Kamer ge­vraagd onafhan­kelijk onder­zoek zou meer duide­lijk­heid moeten geven over de beteke­nis van de mooie examen­cijfers voor onder andere wiskun­de. Zie hier­voor ook WiskundE-brief 802 en WiskundE-brief 804.

gk

De voorzie­ningen­rechter heeft op 28 augus­tus 2018 beslist dat de beant­woor­ding van een examen­opgave wiskun­de opnieuw moet worden beoor­deeld door een onafhan­kelijke deskun­dige. Kern van de rechte­lijke uit­spraak is dat de vereis­te overeen­stem­ming tussen eerste en tweede correc­tor bij deze vraag ont­breekt. Nadat een mavo­leer­ling ook na de herkan­sing een CE-gemid­delde had dat ¹/₆₀ punt te laag was om te kunnen slagen, hebben ouders het examen­werk van diverse vakken, waaron­der wiskun­de, inge­zien. Bij drie opgaven van het wiskun­de-examen vmbo GT (eerste tijdvak) zou de leer­ling volgens de ouders recht hebben op twee punten in plaats van één punt. Daarbij kwam dat bij één vraag (15) ook daadwer­kelijk twee punten op het ant­woord­blad waren geno­teerd. De direc­teur van de school heeft de kwestie conform de dit voor­jaar door het CvTE gepubli­ceerde handrei­king eerst voorge­legd aan de examina­tor. Deze hand­haafde de beoorde­ling in twee geval­len maar gaf bij vraag 15 de leer­ling, met bijbeho­rende motiva­tie, toch twee punten in plaats van één punt. De gecom­mitteer­de (tweede correc­tor) hand­haafde echter zijn eerdere beoorde­lingen, ook die van vraag 15, en heeft dat even­eens schrif­telijk toege­licht. De examina­tor gaf aan begrip te hebben voor het stand­punt van de tweede correc­tor. Daarbij speelt vermoe­delijk een rol dat er er in eerste instan­tie al iets ver­keerd was gegaan. De examina­tor had name­lijk niet op alle plaat­sen hetzelf­de punten­aantal voor vraag 15 geno­teerd. Omdat op het WOLF-formu­lier één punt vermeld stond, heeft deze vraag in eerst instan­tie geen onder­deel uitge­maakt van het overleg tussen examina­tor en tweede correc­tor. Aperte onzorg­vuldig­heid
De rechter woog mee dat er eigen­lijk in eerste instan­tie geen sprake is geweest van overeen­stem­ming over de beoorde­ling van deze vraag en noemt de score van één punt op de verza­mel­lijst een vergis­sing. Ook in tweede instan­tie was er volgens de rechter geen sprake van overeen­stem­ming en had de school in samen­werking met de school van de gecom­mitteer­de actie moeten onderne­men. De handrei­king van het CvTE sugge­reert in zo'n geval het aanstel­len van twee nieuwe correc­toren die het werk opnieuw beoorde­len. Er is welis­waar uitge­breid contact geweest tussen beide scholen en met de inspec­tie maar de rechter oordeel­de dat dat niet voldoen­de was. Bij de behande­ling van de bezwa­ren over opgave 15 is er sprake van "aperte onzorg­vuldig­heden" aldus het vonnis. Totaal­score of score per vraag?
Wat mij het meest opvalt in het vonnis is dat het begrip "overeen­stem­ming" door de rechter wordt uitge­legd als overeen­stem­ming over de toeken­ning van de punten­aantal­len voor iedere afzon­derlij­ke vraag. Naar mijn gevoel is de heersen­de inter­preta­tie: overeen­stem­ming over het totale punten­aantal, waarin het "geven en nemen" een rol kan spelen. In het Eindexa­menbe­sluit VO wordt gespro­ken over het in onder­ling overleg vast­stellen van "de score voor het cen­traal examen", niet over de scores voor onderde­len hiervan. Hope­lijk krijgt deze uit­spraak nog een vervolg in de vorm van een correc­tie. Zo niet, dan zouden gerich­te protes­ten achter­af in de nabije toe­komst nog weleens voor een enorm gedoe kunnen gaan zorgen. gk

Zoals ik in WiskundE-brief 771 meldde, is er met ingang van het komende eindexa­men een nieuwe lijst examen­werk­woorden van kracht. Hoewel de ver­schil­len met de oude lijst niet opzien­barend zijn, is het zaak om goed nota te nemen van deze nieuwe lijst. Bij de correc­tie van eindexa­mens blijkt niet zelden dat de precie­ze beteke­nis van in de vraag gebruik­te woorden van groot belang kunnen zijn. Aanto­nen of bewij­zen
Zo bete­kent volgens deze officië­le lijst aanto­nen (of laten zien) net iets anders dan bewij­zen. In het eerste geval gaat het om "een redene­ring en/of bepa­ling en/of bereke­ning waaruit de juist­heid van het gestel­de blijkt" terwijl het bij een bewijs gaat het om "een redene­ring en/of exacte bereke­ning waaruit de juist­heid van het gestel­de blijkt". In beide geval­len stelt de lijst examen­werk­woorden dat "In het alge­meen geldt dat de formule contro­leren door middel van een of meer voor­beelden niet voldoet". Bij bewij­zen wordt daar nog aan toege­voegd: "tenzij het geven van een tegen­voor­beeld tot de juiste conclu­sie leidt". In de nieuwe lijst heeft men ook gepro­beerd om bepalen en bereke­nen te om­schrij­ven. Het resul­taat is echter niet opzien­barend. Bepalen is nu "het gevraag­de vast­stellen en/of uitreke­nen" en bereke­nen wordt nu omschre­ven als: "het gevraag­de uitreke­nen". In beide geval­len geldt uitdruk­kelijk dat "uit de uitwer­king moet blijken welke stappen zijn gezet". De oor­spronke­lijke bepa­ling bij bereke­nen was dat de aanpak vrij is. De formule­ring is nu wat algeme­ner: "Tenzij anders aangege­ven, is de wijze waarop het ant­woord gevon­den wordt vrij". Algebra­ïsch of exact
Bij een bewijs moeten eventue­le bereke­ningen dus exact zijn. De defini­ties van algebra­ïsch en exact verto­nen veel overeen­komst. In beide geval­len geldt dat er moet worden gewerkt "zonder gebruik te maken van speci­fieke opties van de grafi­sche rekenma­chine". In WiskundE-brief 771 heb ik wat kriti­sche opmer­kingen gemaakt over deze techno­logi­sche en daar­door boter­zachte defini­tie. Ik vermoed dat er over deze begrip­pen nog heel wat discus­sies zullen volgen. Het ver­schil tussen algebra­ïsch en exact is dat bij algebra­ïsch tussen- en eindant­woorden wel bena­derd mogen worden opge­schre­ven en bij exact niet. Bij het exact oplos­sen van een onge­lijk­heid wordt trou­wens alleen ver­wacht dat de bijbeho­rende verge­lijking exact wordt opge­lost. De tekens in de oplos­sing van de onge­lijk­heid hoeven uitdruk­kelijk niet verant­woord te worden. Over het verant­woorden van de grenzen waarbin­nen uitdruk­kingen gedefi­niëerd zijn, wordt niet gerept. In de lijst wordt als voor­beeld de verge­lijking ⁵/_x < x genoemd, waarbij alleen de oplos­singen van ⁵/_x = x exact bere­kend dienen te worden. De grens­waarde die verband houdt met het domein van de functie f: x → ⁵/_x komt daarbij niet ter sprake. De toevoe­gingen algebra­ïsch en exact zijn uitdruk­kelijk beperkt tot wiskun­de B maar ook de wiskun­de A-leer­ling kan in aanra­king komen met om­schrij­vingen die in feite neerko­men op een algebra­ïsche aanpak. Aflei­den of herlei­den
Het aflei­den van een formule of eenheid wordt omschre­ven als "een redene­ring en/of bereke­ning waaruit de juist­heid van de formule of eenheid blijkt". Daaraan wordt toege­voegd: "Uit de uitwer­king moet blijken welke stappen zijn gezet. Tenzij anders aangege­ven, geldt dat het gestel­de contro­leren door middel van een of meer voor­beelden niet voldoet". Bij herlei­den van een formule staat te lezen: "Een formule stap voor stap her­schrij­ven tot deze in de gevraag­de vorm staat, zonder gebruik te maken van speci­fieke opties van de grafi­sche rekenma­chine". Hier wordt indi­rect de eis algebra­ïsch geformu­leerd, ook voor de wiskun­de A-leer­ling. Overi­gens wordt uitdruk­kelijk gesteld dat de lijst examen­werk­woorden niet uitput­tend is. Er kunnen dus, geluk­kig, ook andere werk­woorden in de examens ge­bruikt worden. gk

Eind juli 2018 zijn de syllabi voor de centra­le examens 2020 offi­ciëel vastge­steld. De sylla­bus voor wiskun­de vmbo is ten opzich­te van 2018 en 2019 ongewij­zigd geble­ven. Voor havo en vwo zijn er wel een paar kleine verande­ringen in de syllabi te vinden. Nieuw is dat de Eucli­des-artike­len "Gelijke monni­ken, gelijke kappen" en "Nieuwe vakspe­cifieke regel over afron­den voor wiskun­de A, B en C havo en vwo" nu ook als bijlage in de syllabi zijn opgeno­men, met de aanteke­ning dat enkele voor­beelden intus­sen door wijzi­gingen in de examen­program­ma's zijn achter­haald. Ook de rege­ling voor de keuze van een extra wiskun­devak komt nu in de syllabi ter sprake. Opval­lende aanpas­singen
In de sylla­bus "wiskun­de A havo" is het begrip asympto­tisch gedrag toege­voegd. Het gaat daarbij om de "bijbeho­rende activi­teiten" en niet zozeer om kennis van het begrip zelf. In de sylla­bus "wiskun­de A vwo" wordt toege­licht dat men in de sylla­bus bewust heeft gekozen voor de termen ver­schui­ven en herscha­len, in plaats van transla­tie en verme­nigvul­diging ten opzich­te van de x-as of y-as. In de sylla­bus "wiskun­de C" wordt nu uitdruk­kelijk vermeld dat de kandida­ten een één­punts­perspec­tiefte­kening en een twee­punts­perspec­tiefte­kening van een veel­hoek moeten kunnen maken. Over­zicht syllabi
Hieron­der vindt u een over­zicht met links naar de syllabi voor het cen­traal examen 2020 voor de ver­schil­lende wiskun­devak­ken:

vmbo	havo	vwo
wiskun­de	wiskun­de A	wiskun­de A
	wiskun­de B	wiskun­de B
		wiskun­de C

Zoals in WiskundE-brief 806 gemeld, is er vorig school­jaar een proef gedaan met een online, beslo­ten en bevei­ligd forum voor het digita­le wiskun­de-examen vmbo KB. Deze examens worden over een langere periode afgeno­men en tot voor kort was het niet goed moge­lijk om online examen­opgaven of leerlin­genwerk te bespre­ken. Met een proef beslo­ten bevei­ligd forum (bbf) heeft het CvTE gepro­beerd om in deze leemte te voor­zien. Onge­veer 250 wiskun­dedocen­ten hebben zich voor het forum opgege­ven. Uitein­delijk hebben ruim 160 leraren het forum ook daadwer­kelijk bezocht. Slechts 18 docen­ten waren actief betrok­ken bij de discus­sies over in totaal 13 onder­werpen. De reac­ties op het initia­tief waren posi­tief. In het afgelo­pen school­jaar ging het alleen om de vakken wiskun­de en aard­rijks­kunde. Het ligt in de lijn der bedoe­lingen om de pilot in het huidige school­jaar uit te breiden naar vmbo BB en naar meer vakken. gk
bron: examen­blad.

In juni 2018 lanceer­den wij de 'flexibe­le nascho­ling wiskun­de'. Het idee hierbij is om naast het regulie­re nascho­lings­aanbod een scholen­netwerk voor wiskun­dedocen­ten op te starten. De bedoe­ling is om eens per twee maanden bijeen te komen om over een vooraf door deelne­mers bepaald thema te overleg­gen. De eerste bijeen­komst vindt op 26 septem­ber 2018 van 16:00 tot 20:00 uur in Leiden plaats. Daarna worden de bijeen­komsten steeds om beurten in Delft (TU Delft) en Leiden (Univer­siteit Leiden) georga­niseerd. De vervolg­data zijn op de site te vinden. Thema's
Het thema van de eerste bijeen­komst is "Rekenen". Voor de vervolg­bijeen­komsten denken wij bijvoor­beeld aan thema's als "wiskun­dige denkac­tivitei­ten", "logisch redene­ren bij wiskun­de C", "trai­ning van algebra­ïsche vaardig­heden", "wiskun­demetho­den verge­lijken" en "forma­tief-assess­ment-taken ontwer­pen". Voor leden van een beta­steun­punt zijn de bijeen­komsten gratis. Voor docen­ten van niet-lidscho­len wordt er € 125,= per bijeen­komst in reke­ning ge­bracht. Volg deze link voor meer informa­tie of om u aan te melden. Namens het Bèta­steun­punt Zuid-Holland en het Regio­naal Steun­punt Leiden
Peter Kop

Het maken van een goede school­examen­opgave kost veel tijd. Voor wiskun­de C en D geldt dat veel docen­ten het vak als enige op hun school geven omdat er door­gaans weinig leerlin­gen zijn die het vak volgen. Dat maakt het maken van goede school­examens extra moei­lijk. Om die taak wat gemakke­lijker te maken, starten we op 19 septem­ber 2018 in Delft met een master­class over het maken van wiskun­dige school­examen­opgaven. Deze bijeen­komst is voor ieder­een toegan­kelijk. Na deze master­class gaan we met belang­stellen­den verder in een Profes­sionele Leerge­meen­schap (PLG) waarin we met elkaar veel goede school­examen­opgaven gaan maken voor wiskun­de C en D in vwo 5 en 6. De master­class of de gehele PLG
De data voor de vervolg­bijeen­komsten zijn op de site te vinden. Voor leden van een beta­steun­punt zijn de bijeen­komsten gratis. Voor docen­ten van niet-lidscho­len wordt er een bedrag van € 125,= in reke­ning ge­bracht voor alleen de master­class en € 550,= voor de master­class inclu­sief de gehele hierop volgen­de Profes­sionele Leerge­meen­schap (PLG). Volg deze link voor informa­tie of om u in te schrij­ven. Namens het Bèta­steun­punt Zuid-Holland en het Regio­naal Steun­punt Leiden
Peter Kop

	Mat­thijs van der Poel

Bij de Interna­tionale Wiskun­de Olympia­de in Cluj-Napoca in Roeme­nië heeft de zeven­tienja­rige Mat­thijs van der Poel uit IJssel­stein een zilve­ren medail­le behaald. Hij loste vier van de zes opgaven perfect op. Ook de vijf andere leerlin­gen uit het Neder­landse team vielen in de prijzen. Nils van de Berg, Jippe Hooge­veen, Jovan Gerb­scheid en Thomas Chen wonnen alle­maal een bronzen medail­le en Szabi Buzoga­ny verdien­de een eervol­le vermel­ding voor het fout­loos oplos­sen van één van de zes opgaven. De Interna­tionale Wiskun­de Olympia­de vond van 7 tot 14 juli 2018 plaats in Cluj-Napoca in Roeme­nië. Op elk van de twee wed­strijd­dagen mochten de leerlin­gen vier en een half uur werken aan drie opgaven van hoog wiskun­dig niveau. Elke opgave kon maxi­maal zeven punten opleve­ren. De resulta­ten van de Neder­landse leerlin­gen waren als volgt:

punten	medail­le	naam	leef­tijd	klas	school
28	zilver	Mat­thijs van der Poel	17	vwo 5	Christe­lijk Gymnasi­um Utrecht
22	brons	Nils van de Berg	18	vwo 6	Sint-Oelbert­gymnasi­um Ooster­hout NB
22	brons	Jippe Hooge­veen	15	vwo 4	Open­baar Lyceum Zeist
20	brons	Jovan Gerb­scheid	15	vwo 4	St. Ignati­usgymna­sium Amster­dam
18	brons	Thomas Chen	17	vwo 6	Gymnasi­um Haganum Den Haag
13	-	Szabi Buzoga­ny	18	vwo 5	Corderi­us College Amers­foort

"Het waren erg leuke opgaven om aan te werken en ook de rest van het program­ma was super­leuk. Het is heel bijzon­der om aan zo'n interna­tionale wed­strijd deel te nemen en ik ben blij met het resul­taat." Mat­thijs van der Poel

Gouden, zilve­ren en bronzen plakken
Bij de Interna­tionale Wiskun­de Olympia­de wordt aan maxi­maal de helft van de deelne­mers een medail­le uitge­reikt. Van de 594 deelne­mers kregen de beste 48 deelne­mers een gouden medail­le, de volgen­de 98 deelne­mers een zilve­ren medail­le en de volgen­de 143 deelne­mers een bronzen medail­le. In het landen­klasse­ment eindig­de Neder­land samen met Mexico op de 36^e plaats. Er deden 107 landen mee. Het team van de Verenig­de Staten behaal­de de meeste punten, gevolgd door de teams van Rusland en China. Het Neder­landse team werd bege­leid door Birgit van Dalen (Univer­siteit Leiden, ISW Hooge­land Naald­wijk), Quin­tijn Puite (Techni­sche Univer­siteit Eindho­ven, Hoge­school Utrecht) en Jetze Zoet­hout (Univer­siteit Utrecht).

Het Comman­derij College zoekt per direct een eerste­graads docent wiskun­de of iemand die hier­voor stude­rende is. Meer informa­tie over de school, de vacatu­re, de sollici­tatie­procedu­re en hoe te reage­ren treft u aan via deze link.

Jan Beuving komt met een splin­ter­nieuw cabaret­program­ma geti­teld "Rotatie". Hij geeft een wiskun­dige draai aan de dingen. Maar draait het op aarde net zo perfect als in de wiskun­de? En waarom is één speci­fieke prent van M.C. Escher voor hem zo belang­rijk? Vanaf 1 septem­ber 2018 in thea­ters door het hele land: Rotatie Klik hier voor de speel­lijst of kijk op www.janbeu­ving.nl.

De toe­komst van het wiskun­deonder­wijs begint nu. Class­Pad.net is een vernieu­wend all-in-one online program­ma voor het wiskun­deonder­wijs. U kunt het program­ma gebrui­ken op PC's, Macs en tablets. Presen­teer uw lesstof op een prakti­sche en aanspre­kende manier en maak of deel eenvou­dig opgaven met uw leerlin­gen en collega's. Ga naar: www.class­pad.net, bekijk de video en probeer het zelf.

10 oktober 2018 in Amers­foort. Laat je onder­dompe­len in een wereld van voor­beelden om leerlin­gen te motive­ren en uit te dagen om wiskun­dige onder­werpen te onder­zoeken en te begrij­pen. Kijk op de website van T3 voor uitge­breide informa­tie over het thema, de vijf­tien work­shops en de bèta­proeve­rij. Volg deze link om u in te schrij­ven.