nummer 705, 24 mei 2015

Tot ongenoe­gen van sommige collega's is een notatie­fout die geen invloed heeft op het eindant­woord bij wiskun­de A en C met ingang van dit examen geen reden meer voor punten­aftrek. Bij wiskun­de B is dat niet het geval; daar mogen we wat stren­ger zijn. Toch? Nou, op het havo niet dus. Dit jaar wordt in het correc­tievoor­schrift (CV) voor havo wiskun­de B een vol­strekt foute aanpak gepre­sen­teerd als een aanpak waar­voor gewoon alle punten moeten worden toege­kend! Het gaat om de volgen­de vraag (nr. 17): Een bekend soort opgave waarbij product en ketting­regel moeten worden gecombi­neerd en daarna twee breuken op de juiste wijze moeten worden samenge­voegd. In het CV is deze aanpak ook terug te vinden. Er staat in dat CV echter ook de volgen­de 'alterna­tieve oplos­sing' gepre­sen­teerd: Fout op fout
Deze 'alterna­tieve oplos­sing' barst van de wiskun­dige blun­ders. Laten we deze oplos­sing maar eens stap voor stap nalopen:

1. In deze stap wordt al een essenti­ële fout gemaakt door het kwa­draat van x onder het wortel­teken te verwer­ken. Je veran­dert de functie hiermee voor x < 0. Vul in deze en in de originele functie voor x maar eens -1 in. Dat de wortel uit het kwadraat van een getal de absolute waarde en dus niet altijd het oorspronkelijke getal oplevert, mag toch hopelijk nog wel als basiskennis worden beschouwd?
2. Vervol­gens wordt ogen­schijn­lijk correct de afgelei­de bepaald. Maar het resul­taat is bizar. Dat blijkt als je x = 0 invult. Alhoe­wel de origine­le functie voor x = 0 prima diffe­renti­eerbaar is, geeft deze afgelei­de daar geen waarde. En vul je negatie­ve waarden voor x in, dan zie je dat deze afgelei­de ten opzich­te van de juiste afgelei­de keihard teken­verkeer­de waarden geeft.
3. Nu wordt de teken­fout uit de vorige stap 'gerepa­reerd' door nog­maals de fout uit de eerste stap te maken. Een bekende fout in het leerlin­genwerk die nu in het officië­le CV is geïntro­duceerd!
4. In de laatste stap worden teller en noemer zonder blikken of blozen door x gedeeld. Bij een voor­beeld uitwer­king mag je toch op zijn minst verwach­ten dat het geval x ≠ 0 wordt uitge­zonderd? Maar hier komt het klaar­blijke­lijke wel mooi uit dat je dat niet doet want daarmee wordt ook het niet diffe­renti­eerbaar zijn voor x = 0 weer mooi gerepa­reerd...

Een schets van de grafie­ken illu­streert het boven­staande. Merk op dat het niet alleen voor x < 0 fout gaat. Bij x = 0 hebben we plots te maken met niet-differentieerbaarheid, terwijl de oorspronkelijke functie overal mooi glad is. Over niet-diffe­renti­eerbaar­heid en het ver­schil met niet conti­nue afgelei­de werden trou­wens vroeger op het vwo aardige vragen gesteld. Maar het gaat te ver om hier nu op in te gaan. Het punt is dat om de product­regel te omzei­len, een 'nette' functie wordt vervan­gen door een functie die zich qua afgelei­de veel lasti­ger laat be­schrij­ven en deze opera­tie gepaard gaat met aller­lei onjuis­te her­schrij­vingen. Het lijkt me een goed idee om dit correc­tievoor­schrift over een paar jaar eens aan examen­kandida­ten (havo of vwo) voor te leggen met de op­dracht om alle fouten er uit te halen. Een mooie Wiskun­dige Denk Activi­teit.

Zwart: grafiek van de origine­le functie.

Geen correc­tie
Nu hoort het maken van fouten er blijk­baar bij. Er zit een merk­waardi­ge druk­fout in dit CV en de vermel­de uiter­ste datum voor inzen­ding van de WOLF-scores klopt ook al niet. Maar je mag bij zo'n wiskun­dige blunder toch op zijn minst een snelle en krachti­ge reactie verwach­ten vanuit het CvTE? Maar nee, er heerst slechts grote stilte. In reactie op een inge­diende klacht liet men weten "(havo)kandida­ten" deze foute oplos­sing "niet aan te rekenen" omdat bij de daarop volgen­de vraag een positie­ve waarde voor x moet worden inge­vuld. Ik zeg of schrijf maar even niets meer. Gerard Kool­stra

In opgave 6 van het CE vwo wiskun­de B 2015 wordt de kandi­daat ge­vraagd om te bewij­zen ... ... als de getal­len p en q, afge­rond op 1 deci­maal, gelijk zijn aan −5,6 respec­tieve­lijk −0,4. Mijn eerste gedach­te: dit mag niet worden ge­vraagd
Signifi­cante cijfers zijn niet opgeno­men in het examen­program­ma vwo wiskun­de B. Deze vraag mag dus niet worden gesteld. Mijn tweede gedach­te: dit is niet waar
Neem aan dat q=0,4 ± 0,05. In dat geval kun je eenvou­dig aanto­nen dat de 5,0 uit de formule een getal is tussen ⁴⁰/₉ ≈ 4,4 en ⁴⁰/₇ ≈ 5,7. Dat getal kan niet worden afge­rond tot 5,0. Het wordt ingewik­kelder als je de 5,0 direct uit de meetge­gevens wilt aflei­den. Maar ook in die situa­tie is de 0 niet signifi­cant. Mijn derde gedach­te: er is niets aan de hand
Contex­ten zijn op het wiskun­de B examen alleen aanwe­zig om leerlin­gen en docen­ten in verwar­ring te brengen en moeten worden gene­geerd. De nullen van 14,0 en 5,0 zijn loze ornamen­ten die slechts de sugges­tie moeten wekken dat we met een reële situa­tie van doen hebben. De meetge­gevens uit de tabel waarmee we p en q hebben bere­kend, zijn natuur­lijk geen echte meetge­gevens maar exacte getal­len en de getal­len p en q zijn natuur­lijk hele­maal niet afge­rond maar exact gelijk aan −5,6 en −0,4. Je rekent gewoon met exacte getal­len en als op je rekenma­chine een 5 ver­schijnt, maak je daar een 5,0 van. Want dat wordt nu eenmaal ge­vraagd... Ik ben bang dat mijn derde gedach­te de werke­lijk­heid goed weer­geeft. Ik zie niet gebeu­ren dat het CVTE opgave 6 schrapt. Mijn leerlin­gen hebben deze opgave ook prima gemaakt. Er is niets aan de hand. Jan van Doorn

Onlangs werd door de OECD (Organi­sation for Econo­mic Coopera­tion and Develop­ment) een rapport uitge­bracht dat is geschre­ven door Eric Hanus­hek (Stan­ford Univer­sity en Ludger Woess­mann (Munich Univer­sity). In dat rapport zijn uitkom­sten van aller­lei recente onder­zoeken samenge­voegd, zoals het Pisa onder­zoek, het TIMMS onder­zoek en het TERCE onder­zoek. Het rapport werd op het World Educati­on Forum 2015, dat van 19 tot 22 mei 2015 in Zuid Korea werd gehou­den, gepre­sen­teerd. In het rapport wordt het onder­wijs van 76 landen met elkaar vergele­ken. Het is daarmee het groot­ste onder­zoek dat ooit in zijn soort werd uitge­voerd. Niet verras­send worden de eerste vijf plaat­sen op de lijst ingeno­men door Aziati­sche landen en bevin­den de Afri­kaanse landen zich hele­maal onder in de lijst. Wester­se landen
Neder­land neemt de negende plaats in op deze lijst, net voor Canada. Van de Wester­se landen moet Neder­land alleen Finland, Estland en Zwitser­land voor laten gaan. Duits­land staat op de dertien­de plaats, België staat op de zestien­de plaats, Het Vere­nigd Konink­rijk staat op de twintig­ste plaats, de Verenig­de Staten staan op de achten­twintig­ste plaats en Zweden staat pas op de vijfen­dertig­ste plaats. Via deze link kunt u via een interac­tieve kaart de rang­lijst van alle landen opvra­gen.

Leerlin­gen die in groep­jes wiskun­dig onder­zoek doen? Dat kan! Meer dan tiendui­zend leerlin­gen werkten dit school­jaar een dag lang in teams aan grote en open wiskun­dige proble­men. Bij de onder­bouw ging het over het schat­ten van de omvang van popula­ties, tijdens de Wiskun­de A-lympia­de ging men aan het werk met het verge­lijken van weers­voor­spellin­gen en bij de wiskun­de B variant speel­den de leerlin­gen het spel 'Lights out'. De opdrach­ten hebben de leerlin­gen wederom uitge­daagd om crea­tief met wiskun­de bezig te zijn en in teams aller­lei vaardig­heden te combine­ren. Bij de Onder­bouw Wiskun­de Dag ging de eerste prijs naar het team van het Scala College uit Alphen aan de Rijn. De Wiskun­de A-lympia­de is gewon­nen door het Elzen­daalcol­lege uit Boxmeer en op de Wiskun­de B-dag 2014 was een team van het Utrechts Stede­lijk Gymnasi­um kampi­oen. Volg deze link voor meer informa­tie over deze activi­teiten en voor de data in het komende school­jaar. Michiel Doorman

Op 14 juli 2015 start de MOOC-cursus 'Pre-Univer­sity Calcu­lus', speci­aal voor vwo 6 scholie­ren die in septem­ber starten met een techni­sche oplei­ding. Deze cursus brengt de wiskun­deken­nis van leerlin­gen op het juiste niveau om een goede start te kunnen maken op de univer­siteit. MOOC staat voor "Massive open online course". Het gaat dus om een gratis Engels­talige online cursus waarin de benodig­de stof met behulp van korte video’s en opgaven wordt behan­deld. De video's gaan over func­ties, verge­lijkin­gen, diffe­rentië­ren en integre­ren. De cursus is ontwik­keld door docen­ten en studen­ten van de TU Delft. Voorde­len
Voor de aan­staande student heeft deze cursus de volgen­de drie grote voorde­len:

1. Je gaat goed voorbe­reid van start met je studie, omdat je wiskun­deken­nis op niveau is.
2. Je raakt bekend met de Engelse termen van wiskun­dige begrip­pen, die straks ook in je boeken staan.
3. Je krijgt een voor­proefje van stude­ren aan de univer­siteit en krijgt tips van studen­ten over stude­ren.

Informa­tie
Via deze link kunt u meer informa­tie over deze cursus opvra­gen. Op YouTube staat ook aardig fimpje waarin het Nuon Solar Team uitlegt waarom wiskun­de zo belang­rijk is voor een techni­sche studie. Trudy Midden­dorp
TU Delft

Er zijn nog 11 plaat­sen beschik­baar op de informa­tiebij­een­komst van 3 juni over de ver­nieuwde wiskun­depro­gramma’s. Zie ook Wiskun­dE-brief 701. U kunt zich nog aanmel­den via deze link.

Zoals gemeld in Wiskun­dE-brief 699 kunnen leerlin­gen met ingang van het komende school­jaar 'Wiskun­de D Online' gaan volgen. Er zijn nog een paar plaat­sen over. Scholen die geïnte­res­seerd zijn om wiskun­de D op deze manier aan hun leerlin­gen aan te bieden, kunnen dat via dit formu­lier kenbaar maken. Jos Tolboom
SLO (Natio­naal experti­secen­trum leer­planont­wikke­ling)

Het Steun­punt Taal en Rekenen vo organi­seert in juni weer netwerk­bijeen­komsten voor rekenen voor het vmbo en havo/vwo, in aparte groepen. Wilt u deelne­men aan één van deze bijeen­komsten? Meld u dan vooral tijdig aan voor de netwerk­bijeen­komst van uw keuze. Het program­ma voor de reken­netwerk­bijeen­komsten heeft als onder­werpen:

• Evalua­tie van de resulta­ten.
• Heeft dat invloed op het rekenbe­leid en het reken onder­wijs?
• Worden er dingen gewij­zigd?

We vragen de deelne­mers ter voorbe­reiding op de netwerk­bijeen­komst om de bij de maartaf­name behaal­de resulta­ten per school­type (bb-kb-gt-havo-vwo) en leer­jaar (eindexa­men en voor­eindexa­men) in te voeren in een online bestand dat u via deze link kunt openen. U kunt tot 1 juni 2015 uw gege­vens invoe­ren. Dagpro­gramma
De netwerk­bijeen­komsten worden steeds 's middags van 14:00 uur tot 17:00 uur gehou­den. De inde­ling van de bijeen­komsten is onge­veer als volgt:

Tijd	Onder­deel
14:00-14:30 uur	Inloop met koffie/thee.
14:30-15:00 uur	Korte plenai­re presen­tatie van het Steun­punt: laatste nieuws.
15:00-17:00 uur	Inhoude­lijke netwerk­bijeen­komst.

Agenda
In juni zijn de volgen­de netwerk­bijeen­komsten gepland:

regio	datum	locatie	aanmel­den?
midden	maandag 8 juni	Marnix College Prins Bern­hard­laan 30 6713 MC Ede	klik hier
zuid	woens­dag 10 juni	Prinsen­tuin van Cooth Tuin­zigt­laan 10 4812 XN Breda	klik hier
noord	donder­dag 18 juni	Dr. Nassau College locatie Quintus Mr. Groen van Prinste­rerlaan 98 9402 KG Assen	klik hier

Aan het deelne­men aan een netwerk­bijeen­komst zijn geen kosten verbon­den.

Er worden veel boeken ver­kocht op de grote boeken­oprui­ming van het Wereld­wiskun­de Fonds. De voorlo­pige op­brengst be­draagt al meer dan 1500 euro. Dat is nu al een record! Op tweede Pink­sterdag wordt de laatste lijst met een nieuw boeken­aanbod gepubli­ceerd. Daar zitten weer fantas­tische titels tussen. In totaal zullen er dan meer dan 1000 boeken zijn aangebo­den. Rond 1 juni 2015 ontvan­gen de gelukki­ge kopers een factuur en zullen de boeken worden verzon­den. Kom snel kijken op www.wereld­wiskun­deboe­ken.nl als je voor weinig geld mooie wiskun­deboe­ken wilt vinden. Want in de hele maand mei geldt: wie het eerst mailt, heeft het boek! Jos Remijn
Veiling­meester WwF
wereld­wiskun­deboe­ken@nvvw.nl

Donder­dag 21 mei 2015 hield Paul Drij­vers zijn oratie als hoogle­raar in de didac­tiek van de wiskun­de, geti­teld 'Denken over wiskun­de, onder­wijs en ICT'. Het boekje dat bij de rede van Paul Drij­vers hoort, kunt u via deze link downloa­den.

Op 21 mei 2015 presen­teerde de Commis­sie Delta­plan Wiskun­de.NL, inge­steld door de Neder­landse Organi­satie voor Weten­schappe­lijk Onder­zoek (NWO) en Plat­form Wiskun­de Neder­land (PWN), haar concept imple­menta­tieplan om het wiskun­de onder­zoek in Neder­land te verster­ken en verbete­ren. Ruim een jaar geleden werd het visiedo­cument Formu­las for insight and innova­tion, Mathema­tical Scien­ces in the Nether­lands gepubli­ceerd, waarin onder andere aan­dacht werd besteed aan de grote uitda­gingen in de wiskun­de maar ook aan het primair en voortge­zet onder­wijs in het alge­meen. Het imple­menta­tieplan bevat concre­te acties gericht op onder andere de bekend­heid van wiskun­dig onder­zoek, de leraren­oplei­dingen en de publiek-private samen­werking.

Het 4e Gymnasi­um te Amster­dam zoekt per 1 augus­tus 2015 een docent Wiskun­de voor 0,5-0,8 fte. Het betreft een aanstel­ling met uit­zicht op vaste uren in zowel onder- als boven­bouw. Voor meer informa­tie kunt u contact opnemen met Annette Beck via a.beck@het4e­gymnasi­um.nl. Sollici­taties kunnen voor maandag 15 juni 2015 gericht worden aan Nico de Vrede (rector) via vacatu­res@het4e­gymnasi­um.nl.

Het Onze Lieve Vrouwe­lyceum te Breda zoekt met ingang van het nieuwe school­jaar een docent voor de boven­bouw havo/vwo. De functie wordt maxi­maal inge­schaald op LC. Het betreft een functie van mini­maal 0,7 fte. Ook zij die stude­ren voor eerste graads worden van harte uitgeno­digd om te sollici­teren. Ga voor nadere informa­tie naar onze website: www.olvbre­da.nl.

Het Eerste Christe­lijk Lyceum in Haarlem zoekt voor het school­jaar 2015-2016 enthou­siaste eerste- en tweede­graads docen­ten Wiskun­de. Kijk voor meer informa­tie op onze website.

NHL Hoge­school Leeuwar­den is op zoek naar eerste­graads bevoeg­de docen­ten wiskun­de voor de leraren­oplei­ding wiskun­de (2,0 fte). Ga naar www.nhl.nl> De NHL> Werken bij de NHL> Vacatu­res> Leraren­oplei­der Wiskun­de voor meer informa­tie.

De Passie is een christe­lijke evange­lische school en biedt een uitda­gende leerom­geving waar leerlin­gen hun talen­ten ontdek­ken en leren inzet­ten. Een klein­schali­ge school met een positie­ve veilige sfeer. We zoeken op de locatie Wierden een eerste­graads docent wiskun­de voor 20 uur per week. Volg deze link voor meer informa­tie.

De Vrije­school Zutphen VO zoekt een docent wiskun­de voor de klassen 7 t/m 10 HAVO/VWO. Ga voor meer informa­tie naar onze site. Uw sollici­tatie kunt u sturen naar kloman@vszut­phen.nl.

---

Adver­tenties

Voor voor­waarden en tarie­ven: zie www.wiskun­debrief.nl.

Zwangerschapsverlof of ziekte opvangen? Zwanger­schaps­verlof of ziekte kwalita­tief hoog­waardig opvan­gen? Ervaren eerste­graads­docent is vanaf augus­tus 2015 inzet­baar op ZZP-basis. Werkge­bied: Rand­stad en omge­ving. Info: wiskun­deinte­rim@gmail.com.

HP Prime goedgekeurd voor examengebruik De nieuwe HP Prime Grafi­sche Rekenma­chine is goedge­keurd door het CvTE voor gebruik bij examens HAVO (vanaf 2017) en VWO (vanaf 2018). Interes­se in een demo, een leraren­aanbie­ding of het zonder ver­plich­tingen testen of de HP Prime ook voor u de juiste keuze is? Neem dan contact op via hp@moravia-europe.eu. Neem ook eens een kijkje op www.hp-prime.nl voor veel meer informa­tie over de HP Prime rekenma­chine.

---