nummer 814, 10 juni 2018

De 'talig­heid' van de wiskun­de-examens is regelma­tig een bron van irrita­tie en een onder­werp van discus­sie. Sommige oudere collega's herinne­ren zich vast nog wel de tijd dat een wiskun­de-examen met gemak op één A4-tje paste. Die examens zijn nu vaak boekjes van 12 tot 15 pagina's, vol met lappen tekst waar de kandi­daat zich door­heen moet worste­len. Docen­ten vragen zich vaak verzuch­tend af of het examen niet eerder een oefe­ning in tekst­verkla­ren dan een wiskun­de-examen is. In dit eerste deel beperk ik mij tot een eerste verken­ning van de ontwik­keling op het vwo. Ik wil probe­ren om in kaart te brengen hoe groot in het wiskun­de-examen de rol van be­schrij­vingen, situa­tie­schet­sen en toelich­tingen in de loop der jaren is gewor­den. Wanneer is het ver­schijn­sel begon­nen, in hoever­re zijn er ver­schil­len tussen wiskun­de A en B en wat zijn de recente ontwik­kelin­gen op dit gebied? Voor een onder­zoek is het niet genoeg om het aantal bladzij­den van een examen te tellen. Bij dat gegeven spelen name­lijk ook andere zaken mee zoals de gewij­zigde inde­ling met schut­blad, pagina's met formu­les of stellin­gen, de ruimere lay-out en het grotere letter­type van de laatste jaren. Telme­thode
Het ligt mis­schien voor de hand om voor een onder­zoek het aantal woorden in het examen te tellen. Maar zelfs wanneer we die telling beper­ken tot de examen­opgaven zelf stuit je op tal van proble­men, vooral als je het telwerk automa­tisch zou willen laten verrich­ten. In sommige wiskun­de-examens staan tal van korte aandui­dingen voor func­ties, punten, lijn­stukken, hoeken en derge­lijke die dan ten onrech­te als woord geteld kunnen worden. Na wat proefne­mingen kwam ik tot de conclu­sie dat het automa­tisch laten tellen van woorden bij sommige examens tot een enorme over­schat­ting zou leiden. Daarom heb ik uitein­delijk gekozen voor een andere aanpak. Ik telde het aantal zinnen in de context die vooraf gaan aan de uitein­delijke vraag of op­dracht. Ook aan die methode zitten uiter­aard haken en ogen. Soms is niet hele­maal duide­lijk of je een passage voor één zin of voor twee zinnen moet tellen. Zinne­tjes van drie woorden tellen even zwaar mee als zinnen die doorlo­pen over vier regels. Het opknip­pen van lange samenge­stelde zinnen in meerde­re korte zinnen wordt in mijn methode 'afge­straft'. Toch leek het me de moeite waard om deze telme­thode eens toe te passen op de examens van de afgelo­pen decen­nia. Vwo
Zoals reeds opge­merkt, beperk ik mij in dit artikel tot het vwo. Tot en met 1984 werden examens wiskun­de I en II afgeno­men. Wiskun­de II was daarbij slechts wegge­legd voor een selecte groep leerlin­gen. Na de over­gangspe­riode 1983/1984 kregen we de examens wiskun­de A en B. Beide vakken konden toen eenvou­dig gecombi­neerd worden en dat werd ook vaak gedaan. Aan het begin van de tweede fase, kort na de eeuwwis­seling, hadden we te maken met de vakken wiskun­de A1, A12, B1 en B12. De vakken wiskun­de A1 en B1 waren zoge­naamde 'deelvak­ken' met een beperkt examen­program­ma ten opzich­te van de vakken wiskun­de A12 en B12. Vanaf 2010 was er weer sprake van wiskun­de A en B en in dit school­jaar maakten we het eerste examen volgens de nieuwe examen­program­ma's mee. Om prakti­sche redenen heb ik me in mijn onder­zoek beperkt tot de even examen­jaren en het eerste tijdvak. Wiskun­de B

Zoals de grafiek hierbo­ven laat zien, was het aantal inlei­dende zinnen in de vorige eeuw bij wiskun­de B en de voorlo­per wiskun­de I tame­lijk klein. De meeste inlei­ding is te zien bij de onder­werpen meetkun­de en kansre­kening. Bij analyse was de formule­ring vaak zeer kort en krach­tig. Na de eeuwwis­seling is dat behoor­lijk veran­derd. Een belang­rijke verkla­rende factor lijkt het gebruik van contex­ten. Sinds 2004 zijn 80 inlei­dende zinnen bij wiskun­de B heel gewoon. Wiskun­de A

Contex­ten speel­den al vanaf het begin een belang­rijke rol bij wiskun­de A. We zien echter dat dit pas in de loop der jaren tot echt lange inlei­dende teksten heeft geleid. De eerste examens wiskun­de A waren met zo'n 40 inlei­dende zinnen per examen beknop­ter dan de examens wiskun­de B12 van onge­veer 15 jaar later. In de loop van de jaren 90 zien we echter een sterke toename en vanaf 2000 zijn meer dan honderd inlei­dende zinnen voor een wiskun­de A examen heel gewoon. In tegen­stel­ling tot wiskun­de B is er hier geen abrupte over­gang te zien bij het begin van de tweede fase. Het beeld op de havo is iets anders. Maar daar­over gaat deel 2 in één van de volgen­de WiskundE-brieven. gk

In de week na Pinkste­ren heeft het ontwik­kelteam Rekenen en Wiskun­de van curricu­lum.nu tijdens een ontwik­kelses­sie gewerkt aan de 'grote opdrach­ten' van hun leerge­bied. Grote opdrach­ten be­schrij­ven "de essen­tie van wat leerlin­gen vanuit het perspec­tief van het leerge­bied nodig hebben om de wereld te kunnen begrij­pen (kennis) en om in die wereld ade­quaat te kunnen hande­len (vaardig­heden)". Op dinsdag 5 juni 2018 ver­scheen het tweede tussen­product van het ontwik­kelteam Rekenen en Wiskun­de. Het team maakt in dit 'tussen­product' onder­scheid tussen opdrach­ten die geba­seerd zijn op rekenbe­kwaamhe­den en wiskun­dige bekwaam­heden en opdrach­ten die op inhouds­domei­nen geba­seerd zijn. Bij de genoem­de bekwaam­heden denkt het team aan:

1. Logisch redene­ren.
2. Kri­tisch denken.
3. Pro­bleemop­lossen.
4. Wiskun­dig communi­ceren.
5. Modelle­ren.
6. Crea­tief denken.
7. Algorit­misch denken.

Veel van deze bekwaam­heden worden vaak gepre­sen­teerd als 21^e eeuwse vaardig­heden. Logisch redene­ren is daarbij een beetje een buiten­beentje. Hieron­der citeer ik de uitwer­king van het ontwik­kelteam.

"Logi­sche redene­ringen worden ge­bruikt om ervoor te zorgen dat leerlin­gen de volgen­de stap kunnen maken in de opbouw van hun kennis en vaardig­heden binnen alle domei­nen. Daar­naast is het ook een doel om leerlin­gen te leren logisch te redene­ren om waarhe­den van onwaar­heden te onder­schei­den, zowel in het dage­lijks leven als binnen wiskun­dige contex­ten. Logisch redene­ren is een wiskun­dige bekwaam­heid die essenti­eel is als middel bij begrips­vorming (weten waarom). Het vermo­gen om logisch te kunnen redene­ren draagt bij aan alle andere leerge­bieden, omdat je door middel van een redene­ring een bewe­ring defini­tief kunt onder­bouwen. Voor­beeld uit het voortge­zet onder­wijs: Laat zien dat de som van de hoeken van een vier­hoek gelijk is aan 360o. Redene­ring: Verdeel de vier­hoek in twee driehoe­ken. De som van de hoeken van elk van beide driehoe­ken is 180° en daaruit blijkt de hoeksom­eigen­schap voor de vier­hoek."

Inhoude­lijk
Het ontwik­kelteam Rekenen en Wiskun­de formu­leert in het tweede tussen­product de volgen­de inhouds­domei­nen:

1. Numerie­ke wiskun­de.
2. Formu­les en verban­den.
3. Getal­len.
4. Data.
5. Meten.
6. Verande­ringen.
7. Variabe­len.
8. Verhou­dingen.
9. Meetkun­de.
10. Discre­te wiskun­de.
11. Logica.
12. Program­meren.

De laatste zes domei­nen zijn nog niet uitge­werkt. Ik citeer hieron­der de uitwer­king van het ontwik­kelteam met betrek­king tot het eerste domein: de numerie­ke wiskun­de.

"Numerie­ke wiskun­de biedt de moge­lijk­heid om aan itera­tieve proces­sen (zich herha­lende stappen) te werken en zo algorit­misch te denken. Uit­gangs­punt hierbij is een goed funda­menteel begrip van getal­len, verban­den en formu­les. Bij numerie­ke wiskun­de kun je met behulp van speci­fieke metho­den systema­tisch wiskun­dige proble­men oplos­sen. Bij de uitvoe­ring van deze metho­den zijn compu­tervaar­dighe­den wense­lijk; hierbij is samen­hang met het leerge­bied Digita­le Gelet­terd­heid moge­lijk. Voor­beelden van numerie­ke metho­den zijn inklem­men en interpo­latie. Onder numerie­ke wiskun­de valt ook dat tussen­tijds afron­den in samenge­stelde bereke­ningen kan leiden tot sterk afwij­kende uitkom­sten."

Consul­tatie
In het docu­ment formu­leert het ontwik­kelteam zes zoge­naamde 'consul­tatie­vragen' die ik hieron­der citeer.

Heeft u behoef­te aan verdui­delij­king van grote opdrach­ten door middel van voor­beelden? In hoever­re dekken de grote opdrach­ten (inclu­sief degene die nog ontwik­keld moeten worden) het leerge­bied af? Is algorit­misch denken naar uw mening voldoen­de verte­genwoor­digd in de grote opdrach­ten? Is program­meren naar uw mening voldoen­de verte­genwoor­digd in de grote opdrach­ten? Moeten onder­werpen uit de meetkun­de toege­voegd worden aan de grote op­dracht over Meten of moet er een speci­fieke grote op­dracht geformu­leerd worden bij het domein Meetkun­de? In hoever­re is de grote op­dracht ... in essen­tie herken­baar voor de sector waar u werk­zaam bent of waar uw interes­se naar uit gaat?

Op de website van curricu­lum.nu is tot en met vrijdag 6 juli 2018 gelegen­heid om te reage­ren. Het bestuur van de Neder­landse Vereni­ging van Wiskun­delera­ren (NVvW) wil uiter­lijk op 14 juni 2018 een concept­reactie publice­ren en organi­seert op maandag 18 juni 2018 een bijeen­komst in Utrecht. gk

Ook in het komende school­jaar is Wiskun­de D Online weer beschik­baar, zowel voor havo als voor vwo. Als op uw school slechts een beperkt aantal leerlin­gen voor wiskun­de D heeft gekozen dan kan uw school deelne­men aan Wiskun­de D Online.

Alle informa­tie over wiskun­de D Online vindt u op www.wiskun­dedon­line.nl. U kunt uw school nog steeds voor school­jaar 2018−2019 aanmel­den. Digita­le feed­back
Bent u docent of gepensi­oneerd docent en vindt u het interes­sant om iedere school­week digi­taal feed­back te geven aan leuke en gemoti­veerde leerlin­gen die deelne­men aan Wiskun­de D Online? Er staat een passen­de vergoe­ding tegen­over. Stuur mij een email via stich­tingwis­kunded­online@gmail.com en ik infor­meer u heel graag nader. Gert Treur­niet

Graag wil ik reage­ren op de twee artike­len in WiskundE-brief 812 over de opgave 'Friet­zakstan­daard' uit het examen vmbo-GL en GT. De teneur was dat leerlin­gen niet de dupe mogen worden van onduide­lijke vragen. Dat is natuur­lijk zo maar de vraag is of de zaak hier niet een beetje wordt overdre­ven. Leerlin­gen mogen best wel een keer aan het denken gezet worden. Een scheve houder waarbij de boven­ste ring niet recht boven de onder­ste ring zit, kan omval­len als je er een zakje friet in doet. Een beetje gezond ver­stand en een minimum aan natuur­kundig inzicht mogen we toch wel van onze leerlin­gen verwach­ten? Redelij­ke aanname
Toegege­ven, er is in de opgave niet aange­ven dat de cilin­der recht­standig is. Maar als je zo de afbeel­ding ziet, ga je er natuur­lijk niet van uit dat er een hoek van bijvoor­beeld 89° wordt bedoeld. Als er in dit vraag­stuk de moge­lijk­heid zou moeten worden openge­houden dat de cilin­der scheef is, dan zou dat wel met een duide­lijke hoek kenbaar gemaakt zijn, neem ik aan. Het CvTE spreekt in de eerste aanvul­ling de verwach­ting uit dat de meeste leerlin­gen als vanzelf­spre­kend een rechte cilin­der aangeno­men zullen hebben. Dat blijkt in ieder geval uit de tekenin­gen van mijn leerlin­gen; in slechts twee van de werken zou je met enige fanta­sie in het boven­aan­zicht iets van een scheve cilin­der kunnen ontdek­ken. Moeras aan moge­lijkhe­den
Ga je niet uit van de vanzelf­spre­kend­heid van een recht­standi­ge cilin­der, dan is de beer los. Hoe vanzelf­spre­kend is het dan bijvoor­beeld nog wel dat de cilin­derman­tel recht is? Mis­schien moet je wel uitgaan van een getor­deerde cilin­der. Ook voor een getor­deerde cilin­der kloppen alle gege­vens uit de tekst. Alleen ligt drie­hoek ABC dan niet meer in het platte vlak. Als je er niet vanuit gaat dat het in de friet­zakstan­daard­vraag een rechte cilin­der betreft, dan ver­dwaal je in een moeras aan moge­lijkhe­den. Niet bijde­hand
Een leer­ling die om­schrijft waarom de gevraag­de lengte niet bere­kend kan worden en daar zelfs een wiskun­dige onder­bouwing bij schrijft, doet niet bijde­hand maar denkt gewoon heel scherp na. Scher­per zelfs dan wie dan ook in het hele traject van con­struc­tie­groep tot en met testaf­name. Wie van de wiskun­dedocen­ten, behalve de collega die dit tijdens de bespre­king van de NVvW opperde, had zélf bedacht dat dit een pro­bleem zou kunnen worden? Die leer­ling ver­dient daar dan ook punten voor. Het toeken­nen van alle punten vind ik dan weer teveel van het goede. De omtrek van de beide cirkels kan name­lijk nog wél uitgere­kend worden. De weige­ring om zelfs maar dat gedeel­te van de op­dracht uit te voeren, vind ik dan weer wel 'bijde­hand'. Veel tijd?
Of deze onduide­lijk­heid de leerlin­gen veel tijd gekost heeft, weet ik niet. Ook bij ons hebben veel leerlin­gen meer tijd ge­bruikt dan ik gewend ben. Dat zou een onder­zoekje waard zijn. G. Borger
Vecht­dal College, Harden­berg

In WiskundE-brief 813 besteed­den we aan­dacht aan het initia­tief van Frans Droog om de N-termen voor de afgelo­pen centra­le examens te schat­ten. Veel wiskun­dedocen­ten hebben gehoor gegeven aan deze oproep. In totaal zijn er voor de diverse wiskun­devak­ken een kleine duizend schat­tingen inge­voerd. Hieruit kwam het volgen­de beeld naar voren:

oplei­ding	vak	gemid­delde schat­ting N-term
vmbo	wiskun­de	0,9
havo	wiskun­de A	1,1−1,2
havo	wiskun­de B	1,0−1,1
vwo	wiskun­de A	0,8
vwo	wiskun­de B	0,9
vwo	wiskun­de C	0,9−1,0

Voor andere vakken zijn de voor­spellin­gen via deze link te bekij­ken. Aan­staande woens­dag weten we of 'The wisdom of Crowds' heeft gewerkt.

In de kluis van onze school kwam ik een doosje met nieuwe, niet meer toege­stane grafi­sche rekenma­chines tegen. Het gaat om acht prachti­ge machi­nes die helaas van het type 'Texas Instru­ments TI-84+' zijn. Het zijn prima machi­nes maar ze zijn helaas niet meer bruik­baar binnen ons onder­wijs omdat ze niet meer voldoen aan de eisen voor het Cen­traal Examen. Ik ben op zoek naar een goed doel voor deze rekenma­chines. Wie heeft er tips? Klaas de Wit, wt@vanlo­den­stein.nl
Van Loden­stein College, locatie Amers­foort

Op 22 juni 2018 wordt weer de Zomer­studie­dag ELWIeR/Ecent georga­niseerd. Plaats van hande­ling is het Buys Ballot gebouw op de Uithof van de Univer­siteit Utrecht.

Na zeven versies van de Onder­bouw Wiskun­de Dag voor havo en vwo wil de organi­satie graag met enkele vmbo-docen­ten in discus­sie over een variant 'vmbo wiskun­de dag'. De organi­satie zoekt voor deze sessie dus enthou­siaste docen­ten uit het vmbo. Docen­ten die vanuit hun eigen erva­ring kunnen reflec­teren op wat je op het vmbo zou kunnen doen met een derge­lijke wiskun­de-activi­teit voor teams. De zomer­studie­dag is gratis en voor een lunch wordt gezorgd. Volg deze link om u voor de Zomer­studie­dag ELWIeR/Ecent in te schrij­ven.

Tjjdens de jaar­lijkse boeken­veiling van het Wereld­wiskun­de Fonds zijn er deze keer maar liefst 500 boeken ver­kocht. Vooral geduren­de de laatste week werd er flink gestre­den tussen ver­schil­lende bieders om de gewens­te boeken te bemach­tigen. Met de prachti­ge op­brengst van € 2400,=. kunnen we weer mooie projec­ten finan­cieren. Daarom onze harte­lijke dank aan alle deelne­mers. Nu de zomerva­kantie nadert, is het weer tijd voor de uitver­koop tijdens de Zomer­verkoop 2018. Op www.wereld­wiskun­defonds.nl staan onge­veer 350 boeken en tijd­schrif­ten voor de Zomer­verkoop gereed. Ze worden u voor vaste lage prijzen aangebo­den. Veel oude school­boeken, examen­bundels, opgave­bundels, studie­boeken en vakdi­dac­tische werken zijn voor een beschei­den bedrag te koop. Ook worden er tijd­schrif­ten en heel veel comple­te jaargan­gen van Pythago­ras aangebo­den. Wiskun­de in ontwik­kelings­landen
De Zomer­verkoop loopt tot 28 septem­ber 2018. De gehele op­brengst wordt, zoals altijd, besteed aan projec­ten die zich richten op het wiskun­deonder­wijs in ontwik­kelings­landen. Kom in de zomerva­kantie dus eens langs op onze website. Jos Remijn, wereld­wiskun­deboe­ken@nvvw.nl
Veiling­meester WwF

In het Experti­secen­trum Vakdi­dactiek Noord (EVN) werken de leraren­oplei­dingen van de Rijks­univer­siteit Gronin­gen en de NHL Stenden Hoge­school samen aan vakdi­dac­tische nascho­ling voor eerste­graads en tweede­graads docen­ten. Voor het school­jaar 2018−2019 organi­seert het Experti­secen­trum voor zowel starten­de als ervaren docen­ten het volgen­de:

• Een Profes­sionele LeerGe­meen­schap (PLG) voor eerste­graads docen­ten, gericht op de boven­bouw van het havo/vwo.
• Een PLG voor tweede­graads docen­ten, gericht op het vmbo en de onder­bouw van het havo/vwo.
• Een Lesson Study met als titel: "Leren van je leerlin­gen".

Volg deze link voor meer informa­tie, voor het program­ma of om u aan te melden.

Auteur:	Gerardo Soto y Koele­meijer
Uitgeve­rij:	Amster­dam Univer­sity Press
Aantal pagina's:	180
ISBN:	978 94 629 8839 2
Prijs:	€ 17,99

In "Wie is er bang voor wiskun­de?" laat Gerard Soto y Koele­meijer zien dat wiskun­de een bloeien­de en veelzij­dige weten­schap is. Een weten­schap die veel raak­vlakken met andere disci­plines heeft. Zo ge­bruikt hij in een van de hoofd­stukken de aard van het wiskun­dig bewijs om te illu­streren hoe de wiskun­de in de loop der eeuwen is veran­derd. In een ander deel wordt het levens­verhaal opgete­kend van Terence Tao, de 'Mozart of Math'. Zijn werk heeft het mense­lijk denken blij­vend beïn­vloed. En zelfs dit genie beweert dat hard werken belang­rijker is dan talent. Voor mensen die ooit een angst voor wiskun­de hebben ontwik­keld: geen paniek! Ook dit pro­bleem wordt onder­kend. Gerard Soto y Koele­meijer geeft u waarde­volle tips om deze angst te overwin­nen. Gerardo Soto y Koele­meijer studeer­de litera­tuurwe­ten­schap en promo­veerde in de wiskun­de. In 2015 schreef hij al de essay­bundel "Wiskun­digen mogen niet huilen".

Het Stede­lijk Gymnasi­um Johan van Olden­barne­velt te Amers­foort zoekt met ingang van school­jaar 2018−2019 een eerste­graads bevoegd docent wiskun­de voor 0,6 fte. Meer informa­tie over de school, de vacatu­re en de sollici­tatie­procedu­re vindt u op www.jvo.nl. Wilt u sollici­teren? Doe dat dan via Meester­baan.nl.

Voor het Leeuwar­der Lyceum, school van OSG Piter Jelles, zijn wij met ingang van het nieuwe school­jaar op zoek naar een bevlo­gen en enthou­siaste eerste­graads bevoeg­de docent wiskun­de voor 0,8−1,0 fte. Volg deze link voor meer informa­tie of om te sollici­teren.

Bent u nog steeds niet op de HP Prime overge­stapt? Waarom niet? Het ligt niet aan de snel­heid of aan het ge­bruiks­gemak. Het kan ook niet aan de prijs liggen; die is gelijk aan uw TI/Casio. Aan de onder­steu­ning bij de lesme­thoden ligt het ook niet want die is volop beschik­baar. Wat is het dan wel? Nodig ons eens vrij­blij­vend uit om u te laten zien hoeveel interes­santer het gebruik van de grafi­sche rekenma­chine kan worden. U ont­vangt van ons een eigen rekenma­chine en al uw leerlin­gen krijgen een gratis Prime-app. Neem contact op met info@hp-prime.nl en we plannen snel een af­spraak in.

10 oktober 2018 in Amers­foort. Laat je onder­dompe­len in een wereld van voor­beelden om leerlin­gen te motive­ren en uit te dagen om wiskun­dige onder­werpen te onder­zoeken en te begrij­pen. Kijk op de de website van T3 voor uitge­breide informa­tie over het thema, de 15 work­shops en de bèta­proeve­rij. Volg deze link om u in te schrij­ven.