nummer 812, 27 mei 2018

Het wiskun­de A-examen vwo van dit jaar bevatte twee opgaven waarbij uitdruk­kelijk het gebruik van de grafi­sche rekenma­chine wordt voorge­schre­ven. Een van die opgaven gaat over de zoge­naamde Shannon-index. In die opgave moeten de kandida­ten met hun grafi­sche rekenma­chine een limiet­waarde benade­ren. In de opgave over de Shannon-index wordt de volgen­de formule gegeven: In deze formule is p het aandeel eiken in een bos dat bestaat uit eiken en beuken. Ge­vraagd werd om met de grafi­sche rekenma­chine te onder­zoeken tot welke waarde H nadert als het aandeel eiken in het bos steeds kleiner wordt. Onder­zoeken
Onder­zoeken is een precies omschre­ven examen­werk­woord. In een bijlage bij de sylla­bus wiskun­de A VWO 2018 staat uitdruk­kelijk "De aanpak is vrij, een toelich­ting is vereist". Alleen bij wiskun­de B kan de toevoe­ging 'algebra­ïsch' of 'exact' beper­kingen opleg­gen. Strikt genomen is de voorge­schre­ven beper­king tegen­strij­dig want "De aanpak is vrij". De achter­liggen­de gedach­ten is vermoe­delijk dat de examen­makers wilden voorko­men dat examina­toren het gevaar zouden lopen om aller­lei hele of halve redene­ringen van leerlin­gen te moeten beoorde­len. Vermom­de limiet
Een wiskun­dedo­cent herkent in de formule­ring natuur­lijk een wat populai­re verta­ling van de op­dracht om deze limiet te bepalen: Ook zonder kennis van en erva­ring met limie­ten is het niet lastig om in te zien dat als p naar nul daalt, het rechter deel van de formule ook tot nul nadert. Het venijn zit hem aan het begin. Het aanto­nen dat p·ln(p) ook tot nul nadert, is geen sinecu­re. Het resul­taat hante­ren we vervol­gens graag als stan­daardli­miet. Limie­ten zijn, zoals bekend, geen onder­deel van het wiskun­de A-program­ma en het is dan ook rede­lijk om van de kandi­daat een andere aanpak te verwach­ten. Plotten en zoomen
Het ligt voor een wiskun­de A-kandi­daat het meest voor de hand om de grafi­sche rekenma­chine de kromme te laten tekenen die hoort bij de gegeven formule. Die actie zal een grafiek opleve­ren zoals rechts is afge­beeld. Maar wat weet je dan? De grafiek lijkt te begin­nen in, of althans nabij, de oor­sprong. Maar hoe kun je hier meer zeker­heid over krijgen? Je kunt natuur­lijk op de kromme inzoo­men maar dat gaat bij een grafi­sche rekenma­chine lang niet altijd goed. De kandi­daat wiskun­de A vwo wordt geacht, gebruik te kunnen maken van geschik­te ICT-midde­len bij het verken­nen van wiskun­dige situa­ties. Een grafi­sche rekenma­chine is bij het bepalen van limie­ten echter niet altijd een betrouw­baar middel. Dat wordt bijvoor­beeld duide­lijk wanneer je y = -x^k·ln(x) plot met bijvoor­beeld k = ¹/₂ of k = ¹/₅. Bij inzoo­men lijkt het er op een gegeven moment op dat er plotse­ling een stukje ont­breekt tussen de oor­sprong en het begin van de grafiek. Als je blinde­lings ver­trouwt op je grafi­sche rekenma­chine dan krijg je de indruk dat de waarde van y nadert tot een getal net boven nul als x nadert naar nul.` Nog duide­lijker worden de beper­kingen van de grafi­sche rekenma­chine wel­licht wanneer je y = ln(ln(¹/_x)) plot. De waarde ver­schilt met de diepte waarop je inzoomt. De sugges­tie dat als x steeds dichter bij 0 komt, y naar een getal onder de 10 nadert, is even mani­fest als mislei­dend. Tabel
Terug naar de examen­opgave. Je kunt de limiet in kwestie natuur­lijk ook met de tabelop­tie van de grafi­sche rekenma­chine bestude­ren. Als we, star­tend bij p = 10^-6, met stapjes van 10^-8 rich­ting de nul gaan, dan geeft dat een reeks uitkom­sten voor H waarvan de laatste en laagste) gelijk is aan 1,9×10^-7 is. Dat lijkt aardig rich­ting de nul te gaan. Maar ja, hoever moet je hierbij gaan? Als we de waarde van p vanuit p = 10^-6 steeds een factor 10 kleiner maken en we gaan daarmee door tot 10^-99, de grens van de meeste rekenma­chines, dan komen we op een uit­komst van onge­veer 2,8×10^-97. Continu of disreet?
Als we even uitgaan van een enorm bos van exact een miljard bomen, wat veel meer is dan het totaal aantal bomen in Neder­land, dan is p een discre­te waarde die met stapjes van 10^-9 kan verande­ren. Dat bete­kent ook dat er boven de nulwaar­de een klein­ste waarde bestaat voor p, name­lijk 10^-9. Omdat H voor p=0 niet is gedefi­nieerd, levert invul­len van p=10^-9 in zekere zin de uiter­ste waarde voor H op. Die waarde is in dit voor­beeld onge­veer gelijk aan 2,2×10^-8. Bij een bos met honderd­duizend bomen is de laagst mogelij­ke waarde van H gelijk aan onge­veer 0,000125. Mag je daar zomaar nul van maken? Aanvul­lende eisen
Er zijn voor een wiskun­de A-kandi­daat ver­schil­lende manie­ren om de opgave aan te pakken. Elke manier heeft zo zijn haken en ogen. In het correc­tievoor­schrift worden twee alterna­tieven uitge­werkt die aanslui­ten bij een meer grafi­sche en een meer reken­kundige aanpak. Opval­lend is echter dat er in het correc­tievoor­schrift aanvul­lende eisen worden gesteld die niet op het opgave­blad zijn terug te vinden en ook niet genoemd worden in de sylla­bus. Bij de grafi­sche aanpak moet de kandi­daat de formule in de grafi­sche rekenma­chine invul­len en een schets maken. Vervol­gens moet de kandi­daat opmer­ken dat p nadert tot 0 als het aandeel eiken steeds kleiner wordt. Op grond van de schets zou dan gecon­clu­deerd moeten worden dat H dan ook tot 0 nadert. Bij de meer reken­kundige aanpak moeten volgens het beoorde­lingsmo­del ten minste drie waarden van p worden doorge­rekend die alle­maal kleiner of gelijk zijn aan 0,5. Ook na uitdruk­kelijke vragen op de centra­le examen­bespre­king hield het CvTE vast aan dat minimum van drie. Dat bete­kent in de prak­tijk dat een leer­ling die bijvoor­beeld alleen p=0,001 en p=0,0001 heeft inge­vuld, twee punten minder krijgt dan iemand die p=0,3, p=0,4 en p=0,5 heeft inge­vuld. Daar valt in princi­pe niet aan te tornen want het gaat hier om een onder­deel van een alge­meen verbin­dend voor­schrift waarvan niet afgewe­ken mag worden. Uit corres­ponden­tie met het CvTE blijkt uitein­delijk dat er toch wat ruimte bestaat voor een zelf­standi­ge, profes­sionele beoorde­ling door de examina­tor. Het lijkt er echter op dat die ruimte actief vero­verd moet worden. Geschik­te vraag?
Proble­men met het beoorde­lingsmo­del hebben vaak te maken met proble­men in de vraag­stel­ling. Bieden de vraag en de context de kandi­daat wel voldoen­de aankno­pings­punten om de vraag conform het correc­tievoor­schrift aan te pakken? Voor de 'limiet­vraag' denk ik dat dat niet zo is. De 'gereed­schaps­kist' van de wiskun­de A-kandi­daat is voor de aanpak van die vraag onvol­doende gevuld. Sterker nog, ik denk dat de 'limiet­vraag' hele­maal niet ge­schikt is als examen­opgave. Het is een prima opgave om als uitda­ging eens uitge­breid met leerlin­gen te bespre­ken. In het kader van een wiskun­dige denkac­tivi­teit lijkt het mij heel leer­zaam om de leerlin­gen uit te dagen, elkaars argumen­ten onder­uit te halen. Als examen­opgave vind ik de 'limiet­vraag' echter een ongeluk­kige keuze. gk

Een opgave in het wiskun­de-examen vmbo GT heeft, ondanks(?) de prachti­ge kleuren­foto, bij sommige leerlin­gen tot wat verwar­ring geleid. Om de omvang van het pro­bleem snel te kunnen inventa­riseren, heeft het College voor Toetsen en Examens (CvTE) tijde­lijk het maila­dres friet­zakstan­daard@cvte.nl geopend. Het was de bedoe­ling dat uit de opgave bleek dat beide grote ringen zich recht boven elkaar bevon­den. Achter­af gezien was dat niet duide­lijk genoeg. De ringen zouden daarom ook als aandui­dingen van het boven en onder­vlak van een scheve cilin­der kunnen worden opgevat. Het CvTE vroeg daarom in een aanvul­ling op het correc­tievoor­schrift aan de examina­toren om via het genoem­de e-maila­dres contact op te nemen zodra tijdens de correc­tie zou blijken dat de vraag niet voor alle leerlin­gen duide­lijk is. Tweede aanvul­ling
In vraag 9 moet de kandi­daat de totale lengte uitreke­nen van het stuk draad waaruit de houder is gemaakt. In een tweede aanvul­ling werd één dag later gemeld dat wanneer een kandi­daat van een scheve cilin­der uitgaat, voor deze vraag alle punten moeten worden toege­kend als de kandi­daat aan­geeft dat deze die lengte vanwege de scheve cilin­dervorm niet kan bereke­nen, maar niet als zowel opmer­king als bereke­ning ontbre­ken. Zie ook het artikel van Wouter van der Knaap hieron­der. Cadeau­tje?
Vraag 11, waar een boven­aan­zicht van de houder werd ge­vraagd, werd vanwege hetzelf­de pro­bleem min of meer terugge­trokken. Alle kandida­ten krijgen voor deze vraag de maxima­le score, ook als de vraag is overge­slagen. Zoals in WiskundE-brief 784 uit de doeken werd gedaan, wordt dit cadeau­tje vanzelf weer verre­kend met de N-term. Niet ieder­een zal dus even geluk­kig met deze maatre­gel zijn. gk

Ik wil examina­toren vmbo-GT vragen om te reage­ren op de aanvul­lingen op het correc­tievoor­schrift van vraag 9 van het wiskun­de-examen vmbo-GL en GT. Leerlin­gen, ook al gaat het om een klein aantal, mogen nooit de dupe worden van een fout in het examen. Zie de teke­ning rechts­onder en de foto in het artikel hierbo­ven. De vraag luidt:

"Een fabri­kant maakt de twee grote ringen en de staaf uit één stuk draad. Bereken, zonder te meten, hoeveel cm de totale lengte van dat stuk draad is. Schrijf je bereke­ning op."

Wij, mijn collega's en ik, drukken onze leerlin­gen op het hart dat je nooit iets zomaar mag aanne­men. Dus als er niet is aangege­ven dat een hoek niet lood­recht is dan is die hoek niet lood­recht, tenzij dat op de een of andere wijze aantoon­baar is. Bij deze vraag is niet aangege­ven én niet aantoon­baar dat de hoek van de vertica­le lijn met de tafel lood­recht is. De kleuren­foto maakt de zaak hierbij alleen maar verwar­render omdat op die foto de stan­daard echt op een scheve cilin­der lijkt. Om vraag 9 te kunnen beant­woorden, moeten leerlin­gen echter 'zomaar' aanne­men dat de hoek bij punt C in de teke­ning recht is. Niet bijde­hand doen
Enkele van onze examen­kandida­ten bereke­nen keurig de twee cirkels en gaan daarna niet verder met de uitwer­king. Wij vinden het heel moei­lijk om te beoorde­len waarom zij de vraag niet verder beant­woorden. Aan onbe­grip met betrek­king tot de stel­ling van Pythago­ras kan het niet liggen want die stel­ling gebrui­ken ze pro­bleem­loos bij vraag 22. Wij vertel­len onze examen­kandida­ten dat zij altijd iets op moeten schrij­ven bij een vraag waarvan ze niet weten hoe ze deze moeten aanpak­ken. En we advise­ren onze leerlin­gen ook om tijdens het examen niet 'bijde­hand' te doen door op te merken dat de vraag niet klopt en dan niet verder te gaan met de uitwer­king. Twijfel vooral eerst aan jezelf en ver­trouw erop dat als later blijkt dat een vraag niet klopt, dat achter­af wordt gecorri­geerd. Wie schetst onze verba­zing? De tweede aanvul­ling op het correc­tievoor­schrift geeft aan dat de kandida­ten nu wel dege­lijk 'bijde­hand' hadden moeten zijn en hadden moeten noteren dat deze vraag niet te maken is. Die opmer­king had ze meteen vijf punten opgele­verd. Moeten we onze leerlin­gen dan voort­aan instrue­ren om vooral wél bijde­hand te zijn? Met alle risico's van dien? Gevolg­schade
Ik heb stellig het idee dat sommige van mijn eindexa­menkan­didaten te lang op vraag 9 hebben gepuz­zeld. Het viel mij op dat rela­tief veel kandida­ten van de volledi­ge zitting­tijd gebruik maakten. Het is heel goed moge­lijk dat sommige kandida­ten door vraag 9 in tijd­nood zijn gekomen en hier­door vragen hebben overge­slagen of afgeraf­feld. Onregel­matig­heid
Ik heb contact opgeno­men met het CvTE en aldaar onze bezwa­ren voorge­legd. Men erkent het pro­bleem maar het CvTE beweert dat er na het uitbren­gen van de tweede aanvul­ling geen reac­ties van andere scholen zijn geweest die overeen­komen met ons bezwaar. Onze opmer­king valt daarom onder de noemer 'onregel­matig­heid'. We mogen bij de inspec­tie eventu­eel een klacht indie­nen met daarbij een opsom­ming van de leerlin­gen die nadeel van deze 'onregel­matig­heid' hebben onder­vonden. Achter­af kan het examen van deze leerlin­gen door de inspec­tie dan eventu­eel ongel­dig worden ver­klaard. Wij zijn volgens het CvTE tot nu toe de enige school die kandida­ten op het hart drukt om bij een examen­vraag nooit aan te geven dat de vraag niet klopt maar altijd een poging tot beant­woor­ding te onderne­men. Ik kan mij dat onmoge­lijk voor­stellen. Daarom roep ik u op om, net als ik, bij het CvTE een klacht in de dienen over vraag 9. Dringen­de oproep
Herkent u zich in mijn verhaal? Bent u net als ik van mening dat een aantal van uw examen­kandida­ten ook na de aanvul­lingen op het correc­tievoor­schrift wel­licht nadeel hebben onder­vonden van de vraag­stel­ling op het examen? Mail uw bezwaar dan naar het CvTE via friet­zakstan­daard@cvte.nl. Doe dat uiter­lijk op 31 mei 2018 want daarna wordt dit maila­dres opgehe­ven. Wouter van der Knaap, Christe­lijk Lyceum Veenen­daal

In WiskundE-brief 810 en WiskundE-brief 811 plaats­ten wij al wat reac­ties op de enquête van het College voor Toetsen en Examens (CvTE) over alterna­tieven voor de grafi­sche rekenma­chine. Zie de aankon­diging van die enquête in WiskundE-brief 809. Tot nu toe waren de reac­ties met betrek­king tot GeoGe­bra niet erg posi­tief. Vanwege de beperk­te beschik­baar­heid van compu­ters zou GeoGe­bra een onbruik­baar alterna­tief zijn. Er waren ook twij­fels over de capaci­teiten van Geoge­bra en er werd ook ge­vreesd dat leerlin­gen nooit goed met GeoGe­bra zouden kunnen leren omgaan. Collega Sjaak Kamer­ling, docent wiskun­de aan CSG Willem de Zwijger in Schoon­hoven, laat nu eens een ander geluid horen. Een belang­rijk ver­schil tussen GeoGe­bra en de grafi­sche rekenma­chine, zo schrijft Sjaak Kamer­ling, is het ver­schil in dyna­miek tussen die twee. Het dynami­sche karak­ter van GeoGe­bra ont­sluit moge­lijkhe­den om wiskun­deopga­ven, ook examen­opgaven, te ontwik­kelen die tot op heden onmoge­lijk zijn. Je kunt GeoGe­bra name­lijk inzet­ten voor het oplos­sen van proble­men aan de hand van dyna­misch onder­zoek. Dyna­misch onder­zoek
Er zijn reeds diverse boeken en artike­len geschre­ven waarin de kracht van GeoGe­bra als leerza­me, dynami­sche onder­zoeksom­geving wordt beschre­ven. Voor­beelden zijn het boek "Model-Cente­red Lear­ning: Path­ways to Mathema­tical Under­stan­ding Using GeoGe­bra" van Lingguo Bu en Robert Schoen en "Mit GeoGe­bra mehr Mathema­tik verste­hen" van Rainer Kaen­ders en Rein­hard Schmidt. GeoGe­bra en de grafi­sche rekenma­chine zijn in sta­tisch opzicht aan elkaar gewaagd. In dyna­misch opzicht heeft GeoGe­bra echter heel veel meer te bieden. Het wiskun­devak en het wiskun­de-examen worden door GeoGe­bra een heel stuk rijker. Het zou daarom mooi zijn, zo schrijft Sjaak Kamer­ling, wanneer de discus­sie rondom de grafi­sche rekenma­chine contra GeoGe­bra niet zou blijven hangen op het niveau van tech­niek en uitvoer­baar­heid. De discus­sie moet zich richten op de moge­lijkhe­den die GeoGe­bra biedt tot verrij­king van ons vak.

Het rapport van de werk­groep 'Inzet ICT bij de centra­le examens wiskun­de havo/vwo' (zie WiskundE-brief 811) is kort na afloop van de enquête over dit onder­werp vrijge­geven. Hieron­der ga ik kort in op een paar aspec­ten van het rapport, zonder te preten­deren het rapport hiermee samen te vatten. De op­dracht die de commis­sie van het College voor Toetsen en Examens (CvTE) kreeg, was in zekere zin vrij beperkt. Zie ook WiskundE-brief 766. De commis­sie kreeg de op­dracht om met name deze drie zaken te onder­zoeken:

1. De inzet op middel­lange termijn van Facet met Geoge­bra bij de papie­ren eindexa­mens.
2. De moge­lijk­heid om te diffe­rentië­ren tussen wiskun­de A/C en B.
3. In hoever­re het denk­baar is dat bij wiskun­de B alleen een gewone rekenma­chine wordt ingezet.

Waarom ICT op het examen?
Het rapport gaat uitge­breid in op deze drie vragen maar gaat ook nog wat verder. Zo wordt er inge­gaan op de vraag waarom gebruik van ICT op het examen wense­lijk zou kunnen zijn. Als de drie belang­rijkste inhoude­lijke argumen­ten noemt het rapport in drie korte termen:

1. Anachro­nisme.
2. Rijkere moge­lijkhe­den.
3. Uitbe­steden.

Het anachro­nisme-argu­ment komt erop neer dat ICT een steeds grotere rol speelt in onze maat­schap­pij, zowel in het privéle­ven van burgers als in de vervolg­oplei­dingen van studen­ten en in de beroeps­prak­tijk:

"Eigen­tijds onder­wijs dat hierop antici­peert zal dan ook in toene­mende mate gebruik maken van de educa­tieve moge­lijkhe­den van digita­le techno­logie. Terug­vallen op toet­sing met pen en papier, waarin ICT geen rol speelt, is dan te beschou­wen als een anachro­nisme, zou geen goede weerga­ve zijn van het onder­wijs dat daaraan is vooraf­gegaan, zou niet antici­peren op vervolg­oplei­ding en beroep en zou de uitstra­ling hebben met de rug naar de toe­komst te staan."

Bij het rijkere moge­lijkhe­den-argu­ment wordt onder meer gedacht aan simula­ties en anima­ties die aan opdrach­ten kunnen worden toege­voegd. Daar­naast wordt er gedacht aan ICT-gebruik door de examen­kandi­daat voor het tekenen van grafie­ken, het oplos­sen van verge­lijkin­gen en het explore­ren van meetkun­dige situa­ties:

"Examens worden door dit grotere reper­toire dynami­scher en interac­tiever. Dit heeft een positie­ve weer­slag op het onder­wijs dat daaraan vooraf­gaat en waarin leerlin­gen verge­lijkba­re ICT-midde­len gebrui­ken. Hier­door kunnen de centra­le examens aan validi­teit winnen en worden toet­sing en onder­wijs beter met elkaar uitge­lijnd."

Het uitbe­steden-argu­ment stelt dat hogere wiskun­dige vaardig­heden als wiskun­dig redene­ren, pro­bleemop­lossen en modelle­ren binnen het havo/vwo onder­wijs cen­traal moeten staan terwijl het lagere, procedu­rele werk aan ICT-hulpmid­delen moet kunnen worden uitbe­steed:

"Juist nu wiskun­dige denkac­tivitei­ten een centra­lere plaats in de nieuwe wiskun­decurri­cula hebben gekre­gen, zijn ICT-hulpmid­delen bij uitstek ge­schikt om het procedu­rele werk uit handen te nemen en ruimte te schep­pen voor derge­lijke hogere orde vaardig­heden, die in toene­mende mate cen­traal staan in maat­schap­pij en beroeps­praktij­ken."

Aan deze inhoude­lijke argumen­ten wordt door de commis­sie ook een min of meer een juri­disch argu­ment toege­voegd. In de bij wet vastge­legde examen­stof staat voor alle wiskun­des op havo/vwo name­lijk:

"De kandi­daat be­heerst de bij het examen­program­ma passen­de wiskun­dige vaardig­heden, waaron­der modelle­ren en alge­braïse­ren, ordenen en structu­reren, analy­tisch denken en pro­bleemop­lossen, formu­les manipu­leren, abstra­heren en logisch redene­ren – en kan daarbij ICT functio­neel gebrui­ken."

Uiter­aard impli­ceert dit niet dat het kunnen gebrui­ken van ICT-midde­len per defini­tie in het examen moet worden ge­toetst. De commis­sie ziet opname van ICT in het examen echter wel als de beste manier om een beteke­nisvol­le plaats van ICT binnen het onder­wijs te garande­ren. Van het uitban­nen van ICT op het examen zou een "verkeer­der signaal­werking" uitgaan. De grafi­sche rekenma­chine in recente eindexa­mens
De commis­sie heeft ook het gebruik van de grafi­sche rekenma­chine in de recente eindexa­mens geanaly­seerd. Die analyse heeft in het rapport echter slechts een karige plek gekre­gen. De grafi­sche rekenma­chine is volgens de commis­sie onmis­baar bij opgaven die niet "mooi uitko­men" of waarin model­len en formu­les in toepas­singen aan de orde komen die de leer­ling niet met de hand kan verwer­ken. Daar­naast speelt de grafi­sche rekenma­chine volgens de commis­sie een belang­rijke rol als middel ter contro­le of visuali­satie. Het is jammer dat er door de commis­sie niet wat meer werk gemaakt is van de be­schrij­ving van de rol van de grafi­sche rekenma­chine bij de wiskun­de-examens hele­maal vanaf het begin van de tweede fase. Alleen al een be­schrij­ving van de ontwik­keling van het aandeel aan opgaven waarbij de grafi­sche rekenma­chine ge­bruikt kan of moet worden, zou weleens heel leer­zaam kunnen zijn. Tege­lijk had de commis­sie dan ook een inschat­ting kunnen maken van de positie­ve of negatie­ve invloed die de grafi­sche rekenma­chine in de afgelo­pen decen­nia heeft gehad op het niveau van de eindexa­mens. Interna­tionale trends
Het rapport staat wat uitge­breider stil bij de interna­tionale ontwik­kelin­gen. In dat kader wordt aan­dacht besteed aan het Bring-Your-Own-Device-beleid (BYOD), dat in het buiten­land al veelvul­dig wordt toege­past en nu steeds meer door Neder­landse scholen wordt toege­past. Scholen formule­ren bij een derge­lijk beleid slechts een tech­nisch kader waarbin­nen de leer­ling een eigen tablet of laptop naar keuze aan moet schaf­fen. Het rapport gaat vooral in op de techni­sche moge­lijkhe­den om binnen het BYOD-concept te zorgen voor een unifor­me en veilige toetsom­geving. Over de vraag wat er in welke landen bij welke examens alle­maal is toege­staan, maakt het rapport mij niet veel wijzer. Wel wordt nog de in sommige landen gebrui­kelijke split­sing van het examen in twee delen genoemd. Er wordt dan een deelexa­men zonder ICT en een deelexa­men met ICT afge­legd. Dit model wordt met name in een aantal Scandi­navi­sche landen toege­past en wordt ook ge­bruikt op de Europe­se scholen. Wel­licht snij ik in een volgend nummer nog wat andere aspec­ten van dit rapport aan. gk

De uit de handel gehaal­de geodrie­hoek van de Hema heeft de pers gehaald omdat er tussen de 50° en 60° en tussen de 60° en 70° teveel en foutief gerich­te streep­jes staan. Deze geodrie­hoek bezit echter een nog veel ernsti­ger ontwerp­fout. Hierbo­ven staat een uitver­groting van een deel van de Hema-geodrie­hoek Het is duide­lijk te zien dat de maat­streep­jes aan de buiten­kant, die ge­bruikt worden om hoeken te meten, niet doorlo­pen tot aan de rand. Als je met de buiten­ste schaal­verde­ling een hoek van 0° pro­beert te tekenen met deze geodrie­hoek, dan krijg je een hoek van onge­veer 6°. Leg je de Hema-geodrie­hoek over een goede geodrie­hoek, dan blijkt dat je met de Hema-geodrie­hoek eigen­lijk geen enkele hoek goed kunt meten of tekenen. Behalve uiter­aard een hoek van precies 90° ... Bob Bakker

Op dinsdag 27 novem­ber 2018 organi­seren de steun­punten Taal en Rekenen vo en mbo een gezamen­lijke confe­rentie over toe­komstbe­stendig taal- en rekenon­derwijs. De confe­rentie wordt gehou­den in het mooie congres­centrum 1931 in 's-Herto­gen­bosch en zal van 10:00 tot 17:00 uur duren. Noteer in uw agenda alvast dat u vanaf 9:30 uur al welkom bent. Wat betreft het rekenge­deelte is de confe­rentie bedoeld voor ieder­een die op de een of andere manier iets van doen heeft met rekenen binnen het voortge­zet onder­wijs of het middel­baar beroeps­onder­wijs. Ver­zorgt u een work­shop of lezing?
Docen­ten, beleids­medewer­kers, onder­steu­ners en andere experts worden van harte uitgeno­digd om op de confe­rentie een work­shop van een uur of een lezing van een half uur te verzor­gen. Wat betreft het rekenen kunt u bijvoor­beeld denken aan de volgen­de onder­werpen:

• School­examens (vo) of instel­lings­examens (mbo) maken.
• De integra­tie van rekenen in andere vakken.
• De didac­tiek van het rekenen.
• Begelei­ding van zwakke reke­naars.

Dit is maar een beperk­te opsom­ming. Ook andere ideeën voor een work­shop of lezing worden zeer gewaar­deerd. Dien zeer zeker een voor­stel in wanneer u als docent uw rekenon­derwijs toe­komstbe­stendig heeft vormge­geven en samen met uw studen­ten hier­over een work­shop zou willen geven. En heeft u meerde­re voor­stellen? Dien ze dan gerust alle­maal in. Uw voor­stel
U kunt uw voor­stel tot 15 septem­ber 2018 via deze link indie­nen. Uw voor­stellen worden daarna als volgt behan­deld:

• Er wordt eerst een selec­tie uit de aangebo­den work­shops en lezin­gen gemaakt.
• Uiter­lijk op 30 septem­ber 2018 hoort u of uw work­shop of lezing in het rooster wordt opgeno­men.
• De work­shops en lezin­gen worden ge­plaatst in een rooster met drie work­shopron­des.
• Work­shops of lezin­gen kunnen eventu­eel op meerde­re plekken in het rooster worden opgeno­men.
• Work­shops en lezin­gen waar­voor te weinig belang­stel­ling blijkt te bestaan, worden alsnog geannu­leerd.

Heeft u nog vragen, mail die dan naar info@steun­puntvo.nl of info@steun­puntmbo.nl. Het program­ma voor de confe­rentie zal begin oktober 2018 worden ver­spreid. Direct hierna wordt de moge­lijk­heid openge­steld om u als deel­nemer aan te melden.

Op woens­dag 10 oktober 2018 vindt alweer het zesde symposi­um van T3 Neder­land plaats. Deze keer wordt het symposi­um in Amers­foort gehou­den. Tijdens het symposi­um laten docen­ten u zien hoe zij zowel de klassie­ke als de nieuwe onder­werpen van het curricu­lum aan hun leerlin­gen presen­teren. Ook laten zij u zien hoe u moderne techno­logie zinvol in uw lesprak­tijk kunt integre­ren. Ieder­een is welkom op het symposi­um. Er is een uitge­breid aanbod aan work­shops voor wiskun­de A, B, C en D, M&O en NLT. Work­shops
Hoe bereidt u zich voor op het curricu­lum van de toe­komst? Hoe gaat u nu alvast aan de slag met program­meren, ontwer­pen en enginee­ring? Hoe doet u dat in de wiskun­deles, alleen of samen met uw exacte collega's? Hoe geeft u het curricu­lum van de toe­komst gestal­te tijdens de begelei­ding van een profiel­werk­stuk? U kunt kiezen uit 15 work­shops die in drie rondes aangebo­den worden door T3-instruc­teurs. Specia­le gastdo­cent is Fleur Goudri­aan die de work­shop 'Een intro­ductie op kansre­kening en simula­ties met de TI-Nspire­TM CX' geeft. Zij doceert in België en was tot voor kort verbon­den aan de Europe­an School in Brussel. Bèta-proeve­rij
Tijdens de Bèta-proeve­rij laten leerlin­gen zien hoe ze moderne techno­logie in hun projec­ten inzet­ten en hoe zij in hun projec­ten verban­den leggen tussen de exacte vakken en de hun omrin­gende digita­le wereld. Volg deze link voor meer informa­tie of om u aan te melden.

'Computa­tional thin­king' staat op dit moment momen­teel sterk in de onder­wijskun­dige belang­stel­ling. Sommige mensen pleiten voor invoe­ring van het program­meren van compu­ters als een apart vak, ook op de basis­school, terwijl anderen liever eerst nagaan wat de moge­lijkhe­den zijn om met 'computa­tional thin­king' aan te sluiten bij bestaan­de vakken als wiskun­de. Beta­part­ners organi­seert op donder­dag 7 juni 2018 de netwerk­bijeen­komst 'Wiskun­de en Program­meren'. Deze netwerk­bijeen­komst is bedoeld voor docen­ten wiskun­de en informa­tica. Het doel van de bijeen­komst is het verwer­ven van inzicht over hoe program­meren in de wiskun­deles­sen kan worden geïnte­greerd en het verwer­ven van kennis over de wiskun­dige basis van het program­meren. Jos Tolboom van het SLO geeft tijdens de bijeen­komst aller­eerst een kort over­zicht van de inzich­ten, wensen en initia­tieven die er in het veld en bij de over­heid op het gebied van 'computa­tional thin­king' bestaan. Daarna presen­teren Benny Aalders en Vincent Velthui­zen hun plannen voor het integre­ren van program­meren in de wiskun­deles­sen. Zij geven daarbij ook prakti­sche oefenin­gen; neem dus zeker uw grafi­sche rekenma­chine mee. Algorit­men ontwer­pen
Na de maal­tijd geeft Anne Kalde­waij een voor­dracht over de wiskun­dige aspec­ten van het ontwer­pen van algorit­men. Het zal blijken dat de wiskun­dige basis, het axioma­stelsel zo u wilt, eenvou­dig te be­schrij­ven is. Met behulp van deze basis kunnen algorit­men snel worden ontwor­pen. Een aardig voor­beeld hierbij is het beroemd­heids­pro­bleem. Hoe kun je op effici­ënte wijze bepalen of er in een groot gezel­schap een beroemd­heid aanwe­zig is als je weet dat ieder­een de beroemd­heid kent maar de beroemd­heid niemand kent? Program­ma

tijd	activi­teit	spreker(s)
16:15 uur	Ont­vangst.
16:30 uur	Computa­tional Thin­king: de stand van zaken.	Jos Tolboom (SLO).
16:45 uur	Het program­meren van wiskun­de.	Benny Aalders en Vincent Velthui­zen (RUG).
18:00 uur	Maal­tijd.
19:00 uur	De wiskun­de van het program­meren.	Anne Kalde­waij (Gemeen­telijk Gymnasi­um).
20:30 uur	Afslui­ting.

De bijeen­komst vindt plaats op het Gemeen­telijk Gymnasi­um, Vaart­weg 54 te Hilver­sum. Voor niet-Bèta­part­ners kost de bijeen­komst € 35,=. Volg deze link voor meer informa­tie of om u in te schrij­ven. Meld u uiter­lijk op donder­dag 31 mei 2018 aan. Kees Temme, coördi­nator vak­steun­punt Wiskun­de
Eelco Dijk­stra, coördi­nator vak­steun­punt Informa­tica

De boeken­veiling van het Wereld­wiskun­de Fonds gaat de laatste week in. Op de veiling­site www.wereld­wiskun­defonds.nl wordt al de hele maand mei druk geboden. Maar heus, er zijn nog steeds veel prachti­ge koopjes te vinden. Er staan nog ruim 600 boeken op de site, waaron­der veel oude school­boeken, studie­boeken en didacti­sche werken. Een comple­te reeks van Van Hiele's lesme­thode 'Van A tot Z' en heel mooie boeken over de geschie­denis van de wiskun­de, bijvoor­beeld T.L. Heath's 'Thir­teen Books of The Euclid's Ele­ments'. Verder zijn er op de site natuur­lijk ook veel popu­lair weten­schappe­lijke en recrea­tieve boeken, Zebra­boekjes en oude Neder­landse wiskun­detijd­schrif­ten te vinden. Het bieden op een boek begint meestal bij € 2,=. U kunt bij het bieden een maximum­prijs opgeven zolang die maar hoger is dan de vraag­prijs. Pas wanneer iemand anders gaat meebie­den, wordt er automa­tisch voor u verder geboden totdat het door u bepaal­de maxima­le bod is bereikt. Kijk hier voor meer uitleg hier­over. Nog even
De veiling eindigt op vrijdag 1 juni 2018. De boeken hebben ver­schil­lende eindtij­den om overma­tige drukte op de veiling­site te voorko­men. Houd daar dus de laatste veiling­dagen reke­ning mee. De gehele op­brengst van de meivei­ling van het Wereld­wiskun­de Fonds wordt besteed aan projec­ten ten bate van het wiskun­deonder­wijs in ontwik­kelings­landen. Jos Remijn (wereld­wiskun­deboe­ken@nvvw.nl)
Veiling­meester WwF

Op het Cals College te Nieuwe­gein zoeken we met ingang van het nieuwe school­jaar een docent wiskun­de tto, eerste- of tweede­graads, voor 1,0 fte. Op het Cals College Nieuwe­gein kiezen steeds meer leerlin­gen voor bèta. Er is in de vaksec­ties en bèta-breed de laatste jaren hard gewerkt aan uitda­gend en interes­sant onder­wijs. Die lijn willen we doorzet­ten. We zoeken een docent die met collega's van de andere bètasec­ties ons bèta-onder­wijs verder gaat ontwik­kelen. Omdat het om tweeta­lig onder­wijs gaat, nodigen we native spea­kers nadruk­kelijk uit om te sollici­teren. Via deze link kunt u meer informa­tie krijgen over de vacatu­re en de wijze van sollici­teren.

Het Rijn IJssel locatie Utrecht­se­straat 40-42 zoekt voor het VAVO (volwas­senenon­derwijs) een docent wiskun­de voor 0,3 tot 0,5 fte. Op het vmbo en de havo geeft u les aan examen­klassen en in de ISK (Interna­tionale Schakel Klas) voor een schakel­jaar aan kleine groepen. Meet informa­tie kunt u verkrij­gen bij teamlei­der Dick Mol. Hij is bereik­baar onder tele­foonnum­mer 06-42310954 of via d.mol@rijnijs­sel.nl.

De Vrije­school Zutphen VO is een school voor voortge­zet onder­wijs waar leerlin­gen vanuit het antropo­sofisch mens­beeld tot volwas­senheid worden bege­leid. De school telt rond de 1300 leerlin­gen. Voor het school­jaar 2018-2019 zoeken wij een eerste- en een tweede­graads docent wiskun­de voor elk onge­veer 0,55 fte. Het betreft een betrek­king met uit­zicht op een vast dienst­verband. Ga naar onze site voor meer informa­tie over onze school en de vacatu­re. Stuur uw sollici­tatie naar Karin Harmsen via kharm­sen@vszut­phen.nl

"De duale opzet van de HAN-Master Leraar wiskun­de is ideaal", zegt Dirk Garssen, eerste­graads wiskun­dedo­cent. "Geen stagea­dres zoeken, prima begelei­ding door vakcol­lega en in een ver­trouwde werkom­geving wennen aan boven­bouw en team". Meer weten? Kom naar de Open Avond op 6 juni 2018.

Bent u nog steeds niet op de HP Prime overge­stapt? Waarom niet? Het ligt niet aan de snel­heid of aan het ge­bruiks­gemak. Het kan ook niet aan de prijs liggen; die is gelijk aan uw TI/Casio. Aan de onder­steu­ning bij de lesme­thoden ligt het ook niet want die is volop beschik­baar. Wat is het dan wel? Nodig ons eens vrij­blij­vend uit om u te laten zien hoeveel interes­santer het gebruik van de grafi­sche rekenma­chine kan worden. U ont­vangt van ons een eigen rekenma­chine en al uw leerlin­gen krijgen een gratis Prime-app. Neem contact op met info@hp-prime.nl en we plannen snel een af­spraak in.

In Wiskun­dE-brief 807 werd de vraag gesteld welke weten­schappe­lijke rekenma­chines nu eigen­lijk wel of niet zijn toege­staan tijdens het examen. Naar aanlei­ding hiervan hebben wij voor u een handige lijst gemaakt van rekenma­chines die aan de eisen voldoen en dus op het Cen­traal Examen zijn toege­staan. Kijk op www.dereken­winkel.nl/goedge­keurde­lijst voor een over­zicht en neem contact met ons op voor uw school­bestel­lingen.