nummer 654, 8 decem­ber 2013

De hoorzit­ting die de commis­sie voor OC&W van de Tweede Kamer op woens­dagmid­dag 4 decem­ber 2013 hield over de ontwik­kelin­gen rond de reken­toets heeft geleid tot het opnieuw openen van het politie­ke debat over dit thema. We willen onze lezers graag in de gelegen­heid stellen om kennis te nemen van een aantal belang­rijke bijdra­gen aan deze hoorzit­ting. Profes­sor Jan van de Craats vatte zijn ervarin­gen bij het maken van de voor­beeld­toets 3F samen. Zie ook Wiskun­dE-brief 651. Zijn bijdra­ge staat op zijn website. Profes­sor Jan Karel Lenstra (voorzit­ter van de commis­sie "Rekenon­derwijs op de basis­school" van de Konink­lijke Neder­landse Akade­mie van Weten­schap­pen) pleitte voor het onder­houden en toetsen van reken­vaardig­heden binnen de wiskun­de. Zijn bijdra­ge vindt u hier. Profes­sor Anne van Streun (voorzit­ter van de werk­groep rekenen van de commis­sie Meije­rink) formu­leerde harde kritiek op het "het volle­dig uit de hand gelopen toets­circuit" rond rekenen. Zijn bijdra­ge staat hier. In de bijdra­ge van de hoogle­raren Adri Tref­fers en Marja van den Heuvel-Panhui­zen werd inge­gaan op de invloed van realis­tische rekenme­thoden (meer­voud!) op de resulta­ten van het rekenon­derwijs op de basis­school. Hier vindt u hun volledi­ge tekst. Lonneke Boels (docent wiskun­de en rekenco­ördina­tor) pleitte tegen het uitstel­len van de reken­toets en voor het meetel­len van de toets voor het examen vanaf 2016. Haar bijdra­ge vindt u via deze link. Een uitge­breide versie van de bijdra­ge van Karin den Heijer (Zie Wiskun­dE-brief 652), met een voor­stel voor een simpele reken­toets, staat hier. Jan Jimkes werkte 36 jaar als leraar wiskun­de en conrec­tor op een havo-vwo school. Hij pleitte in zijn monde­linge bijdra­ge voor veranke­ring van de referen­tieni­veau's in de onder­bouw van het voortge­zet onder­wijs. Zijn uitge­breide analyse van de reken­toets­proble­matiek staat hier. Toets­deskun­dige Ben Wil­brink besteed­de in zijn bijdra­ge aan­dacht aan rekenen in contex­ten als voor­beeld van "situa­ted lear­ning". Een weerga­ve daarvan staat zijn website evenals een analyse van de reken­toets. redac­tie

Op dinsdag 3 decem­ber 2013 zijn de resulta­ten van het laatste onder­zoek van het Program­me for Interna­tional Student Assess­ment (PISA) gepubli­ceerd. De nadruk bij dit onder­zoek lag op de "wiskun­dige gelet­terd­heid". Het is dan ook terecht dat bij de presen­tatie de resulta­ten op het gebied van de wiskun­dige gelet­terd­heid de meeste aan­dacht kregen. Jammer is wel dat er in het onder­zoek nauwe­lijks wordt inge­gaan op de speci­fieke vaardig­heden die zijn ge­toetst. Geen abc-formule
Het NOS-jour­naal van dinsdag 3 decem­ber 2013 wekte de indruk dat het oplos­sen van kwadra­tische verge­lijkin­gen, met name met de abc-formule, een belang­rijk thema was. Dat was nu juist niet het geval. Het ging bij veel opgaven over het toepas­sen van rekenen in (bedach­te) "prak­tijksi­tuaties". De overlap met de reken­toetsen 2F en 3F is zo te zien erg groot. Wie een indruk wil krijgen van de vragen, raadple­ge een van de bronnen onder dit artikel. Tendens is dalend
In de presen­tatie van de resulta­ten werd er ener­zijds aan­dacht geschon­ken aan de goede positie van ons land bij "wiskun­de" (in de top tien, zelfs boven Finland). Ander­zijds was er echter ook veel aan­dacht voor de alge­meen dalende tendens in de scores bij wiskun­de. Als mogelij­ke verkla­ring noemen de opstel­lers van het Neder­landse PISA rapport "dat lessen lang niet altijd gegeven worden door docen­ten die een recente of adequa­te voorop­leiding genoten hebben". Rang­lijst­jes
Een drietal opmer­kingen over de gepubli­ceerde rang­lijsten:

• In de top tien staan behalve landen ook gebie­den en steden, zoals bijvoor­beeld Shang­hai en Hong Kong.
• Wanneer de resulta­ten van andere landen worden uitge­splitst, ver­schij­nen er gebie­den als Vlaande­ren en Quebec boven het Neder­landse resul­taat.
• De ver­schil­len zijn vaak niet signifi­cant. Neder­land hoort met 9 andere voorna­melijk Europe­se landen (waaron­der Zwitser­land, Finland en Belgie) tot een tweede groep, achter een geheel Aziati­sche kop­groep.

Beteke­nis van de scores
De ontwik­keling van de scores op "wiskun­de" is hier­naast weerge­geven, uitge­splitst naar jongens en meisjes. Opval­lend is dat de scores van de meisjes sinds de vorige meting niet zijn gedaald en van de jongens juist vrij sterk achter­uit zijn gegaan. De afstand tussen jongens en meisjes, die in 2009 zeer groot was, is zo weer wat kleiner gewor­den. Maar wat beteke­nen deze scores? Het gemid­delde van alle OECD-landen bij de meting van 2003 is op 500 gezet en de stan­daardaf­wijking op 100. Een score van 523 bete­kent dus niets meer of minder dan 0,23 stan­daardaf­wijkin­gen boven het OECD gemid­delde van 2003.

Als we verder kijken naar de scores op de diverse deelge­bieden, zijn er rela­tief hoge scores bij "onzeker­heid" en bij "hoeveel­heid" en zijn er iets lagere scores bij "verande­ringen & rela­ties" en bij "vorm & ruimte". Wordt ver­volgd. gk Bronnen:
Neder­landse uitkom­sten (Cito) (met voor­beeldop­gaven)
Interna­tionaal hoofd­rapport (deel I)
Gepubli­ceerde wiskun­de opgaven (Engels­talig)

De PISA-lijsten geven weer aanlei­ding tot ver­schil­lende inter­preta­ties,. Het glas is half vol of het is half leeg. Een interes­sant over­zicht, dat alleen in het interna­tionale rapport staat, gaat over het aantal uren dat deze 15-jarigen effec­tief per week beste­den aan het vak wiskun­de. In het over­zicht^*) van tijd die wordt besteed aan het vak wiskun­de binnen de school staat Neder­land op de 55e plaats met 165 minuten. Inder­daad, de vijfen­vijftig­ste plaats! Bijna onder­aan de lijst dus. Dat is onge­veer net zo veel wiskun­de als bijvoor­beeld Neder­lands of Natuur­weten­schap­pen. Neder­land onder­aan
Die 165 minuten wiskun­de is heel veel minder dan er bijvoor­beeld in Canada (314 minuten per week), Portu­gal (280 minuten per week) of Italië (240 minuten per week) aan wiskun­de wordt besteed. De tijd die Neder­landse leerlin­gen, naar eigen zeggen, voor alle vakken samen aan huis­werk beste­den, ligt met ruim 5 uur overi­gens wel dicht­bij het gemid­delde van alle landen.

Over het in interna­tionaal opzicht lage aantal wiskun­de-uren op school maakt de staats­secreta­ris zich op gezag van het Nationa­le Pisa-rapport niet druk. In dit rapport wordt name­lijk luchtig­jes gecon­sta­teerd dat Neder­landse leerlin­gen over het alge­meen meer vakken in hun vakken­pakket hebben dan leerlin­gen in andere landen en dat de aan­dacht dus meer ver­deeld moet worden. Priori­teiten
Zoals blijkt uit het recente rapport van het Plat­form Wiskun­de Neder­land, dat een verge­lijking maakt tussen Neder­land, Vlaande­ren en Duits­land, is de situa­tie in de boven­bouw havo-vwo voor de wiskun­de in de natuur­profie­len zelfs nog schrij­nender. Beseft de over­heid dan niet dat verster­king van de onder­wijskwa­liteit niet zonder het stellen van priori­teiten kan? En dat de effec­tieve studie­tijd de belang­rijkste te beïn­vloeden factor is? En hameren wij daar in onze bood­schap­pen naar de poli­tiek wel genoeg op? Anne van Streun ^*)volume 4, Figure IV.3.10

PISA is het groot­ste interna­tionaal verge­lijken­de onder­zoek naar de presta­ties van leerlin­gen in onder­wijs­stel­sels ter wereld. We kunnen als Neder­landers, en vooral als Neder­landse docen­ten, dan ook trots zijn dat we er in dat onder­zoek zo waanzin­nig goed vanaf komen. Ook staats­secreta­ris Sander Dekker is trots op ons resul­taat, getuige zijn reactie op het onder­zoek:

"Neder­landse leerlin­gen doen het in verge­lijking met hun leef­tijdsge­noten in andere landen goed op school, en op het gebied van wiskun­de zelfs heel goed. In Europa doen alleen Zwitser­land en Liech­ten­stein het beter. Daar mogen we best trots op zijn."

Donkere wolken
Dat Dekker een echte calvi­nisti­sche Neder­lander is die voor ieder zonne­tje wel een donkere wolk ziet schui­ven, blijkt uit wat hij onmid­dellijk daarna weet op te merken:

"Dit soort resulta­ten zijn echter geen rustig bezit. Zodra we zelfge­noeg­zaam worden, kachelt het onder­wijs achter­uit."

En hij heeft een hele voor­raad van die donkere wolken. Want in reactie op het rapport merkt hij ook nog op:

"Er ligt ook een waar­schu­wing in de PISA cijfers. Een topposi­tie is rela­tief. Onze absolu­te scores staan onder druk. En een topposi­tie kun je ook weer verlie­zen: ver­schil­lende landen om ons heen die het in het verle­den bedui­dend beter deden, zijn wegge­zakt.

En wat dacht u van de volgen­de party stopper uit de mond van onze staats­secreta­ris?

Tege­lijk zien we, met name in Azië, nieuwe landen opkomen die serieu­ze meters maken. In een wereld­econo­mie zijn dit steeds meer onze concur­renten. We moeten dus hard aan ons onder­wijs blijven werken."

Nog een wereld te winnen
En met de laatste donkere wolk die hij zich weet voor te stellen, springt hij, het is zijn stok­paardje, in de bres voor die arme potenti­ële topta­lenten in Neder­land. U weet wel, die hoogbe­gaafde leerlin­gen die zo vrese­lijk moeten lijden onder het feit dat we onze onder­wijskun­dige aan­dacht zo eerlijk over onze leerlin­gen weten te verde­len:

"Ook onze topta­lenten hebben recht op uitda­gend onder­wijs. Uit de PISA-cijfers blijkt dat hier nog een wereld te winnen is. Daar wil ik de komende tijd samen met school­leiders en leraren mee aan de slag."

Laat het maar aan Dekker over om zelfs het mooiste feestje in begrafe­nisstem­ming af te sluiten. Ton Groene­veld

In Wiskun­dE-brief 653 las ik in de bijdra­ge van Jos Geer­lings: "Het zou toch zonde zijn als zo’n aanpak niet meer moge­lijk is omdat je geen grafi­sche rekenma­chine meer mag gebrui­ken?" Het ging in zijn bijdra­ge om de hyperge­ome­trische kansver­deling die een leer­ling met de grafi­sche rekenma­chine wist te vervaar­digen. Maar leerlin­gen kunnen dat bijna net zo snel op een "gewone" weten­schappe­lijke rekenma­chine van nog geen tientje ook! Inder­daad is de tabelop­tie van de GR wel eens handig om veel hetzelf­de domme reken­werk over te nemen. Maar een kansver­deling opstel­len die uit vijf moge­lijkhe­den bestaat, is niet zo veel werk en het reken­werk is ook niet erg belas­tend. Trou­wens, die breuken­knop die de leer­ling gebruik­te, is ook wel een beetje jammer. Mis­schien is het een aardige oefe­ning om zelf 6 boven 4 maal 5 boven 0 gedeeld door 11 boven 4 eens te vereen­voudi­gen tot 1/22 ... Joke Zwarte­veen

Prach­tig om te zien hoe simpel dat lijstje met de exacte kansen voor de hyperge­ome­trische verde­ling nu met één druk op de knop TABLE kan worden geprodu­ceerd op de grafi­sche rekenma­chine. Ik kan mij goed ver­plaat­sen in de tevre­denheid van Jos Geer­lings (Wiskun­dE-brief 653) als hij merkt dat een leer­ling dat zelf ontdekt op zijn grafi­sche rekenma­chine. Het voor­beeld laat echter ook goed zien waarom het niet nodig is om de grafi­sche rekenma­chine te gebrui­ken op het examen als we simpel de defini­tie aanpas­sen van wat we onder een bereke­ning ver­staan, zoals ik betoogd heb in Wiskun­dE-brief 648. Het gaat in de eerste plaats om de invoer voor de grafi­sche rekenma­chine of welk ander reken­program­ma dan ook. Niet om de uitvoer. Op het examen kan een leer­ling daarom vol­staan met: Wiskun­detaal boven rekenma­chine­taal
Het grote voor­deel van deze notatie is dat deze onafhan­kelijk is van het gekozen reken­program­ma. Een leer­ling moet op het examen laten zien dat hij of zij bepaal­de wiskun­dige concep­ten en de bijbeho­rende wiskun­detaal be­heerst en kan gebrui­ken. Dat is genoeg. De speci­fieke nota­ties van aller­lei wiskun­dige nota­ties als "6 boven k" zijn bij ieder reken­program­ma weer anders. Ook dat laat zich met een voor­beeld goed illu­streren:

reken­program­ma	notatie
Grafi­sche rekenma­chine	6Ck of 6 nCr k
Excel	combina­ties(6,k)
Geoge­bra	binomi­aalcoëf­ficiënt(6,k)
Wolfram­alpha	6 choose k

En al die ver­schil­lende nota­ties zijn niet het doel van ons onder­wijs. Invoer boven uitvoer
Het voor­beeld laat ook goed zien dat leerlin­gen met een TI84 in het voor­deel zijn t.o.v. leerlin­gen met een TI83. En dat zijn er veel meer dan we denken. De mooie uitvoer met breuken laat zich op de TI83 niet reprodu­ceren. Via Wolfram­alpha of geoge­bra lukt mij dat overi­gens ook niet zo eenvou­dig. De kans op ongeluk­ken bij het examen met ver­schil­lende types rekenma­chines is niet denk­beeldig en je voor­komt dat eenvou­dig door op het examen niet naar de uitvoer maar alleen naar de wiskun­dig geformu­leerde invoer voor een reken­program­ma te vragen. Het reken­program­ma heb je dan op het examen natuur­lijk ook niet meer nodig. Geef scholen de vrij­heid
Voor het produce­ren van een tabel met functie­waarden vind ik de grafi­sche rekenma­chine erg handig. De snelle beschik­baar­heid in de les is ook een groot voor­deel maar de grafie­ken blijven een doorn in het oog en de prijs is ook niet mals. Het is mijn vaste overtui­ging dat de grafi­sche rekenma­chine een doodlo­pende weg is en het uitein­delijk zal afleg­gen tegen de gratis reken­program­ma’s op inter­net. Natuur­lijk bestaan er ook andere overtui­ging. Maar de bevoor­rechte positie van de grafi­sche rekenma­chine op het examen is achter­haald. Scholen moeten daarom zelf kunnen kiezen of zij leerlin­gen willen laten werken met een laptop, ipad, tele­foon of grafi­sche rekenma­chine. Het examen moet scholen niet in een bepaal­de rich­ting dwingen. Jan van Doorn
Montes­sori Lyceum Rotter­dam

Van 29 oktober tot en met 20 decem­ber 2013 organi­seert het College voor Examens (CvE) met behulp van enquê­tes een veld­raadple­ging rondom de syllabi van de nieuwe examen­program­ma’s wiskun­de A (havo en vwo) en wiskun­de C (vwo). Docen­ten VO, vakdi­dactici en andere vakdes­kundi­gen kunnen hun mening geven over deze syllabi. U kunt de digita­le enquête invul­len tot en met de slui­tingsda­tum van 20 decem­ber 2013. Meer informa­tie vindt u via deze link.

Het winter­symposi­um van het Konink­lijk Wiskun­dig Genoot­schap vindt plaats op 11 januari 2014 in het Acade­miege­bouw in Utrecht. Voor Neder­land vond de opening van het jaar van Mathema­tics of Planet Earth tijdens de Nationa­le Wiskun­dedagen 2013 plaats. Het winter­symposi­um vormt een afslui­ting voor docen­ten. Dit zijn de spre­kers. Ferdi­nand Ver­hulst (univer­siteit Utrecht)
Inlei­ding: Model­len in alle maten
Het woord 'model' wordt in veel beteke­nissen ge­bruikt; het gaat echter altijd om een meta­foor. Hoeveel we van het model kunnen verwach­ten, hangt af van het doel, het type en de stand van de weten­schap. Er worden ver­schil­lende typen wiskun­dige model­len bespro­ken. Leo Maas (NIOZ, univer­siteit Utrecht)
Zwaarte­puntsdy­namiek van de oceaan en onderwa­tergol­ven.
Als gevolg van tempera­tuur- en zoutge­halte­ver­schil­len is de oceaan door­gaans stabiel gelaagd in dicht­heid. Twee eenvou­dige model­len, die de dyna­miek van zo’n gelaag­de oceaan probe­ren te vangen, worden bespro­ken. Geert Lende­rink (KNMI)
Neer­slagex­tremen in een opwar­mend klimaat, van waarne­mingen en concep­tuele model­len tot klimaat­projec­ties.
Is regen­val extre­mer in een warmer klimaat? Waarne­mingen van de extre­men in de neer­slagin­tensi­teit geven een verband aan dat onge­veer twee keer zo sterk is als ver­wacht. Met eenvou­dige concep­tuele model­len en vervol­gens weer- en klimaat­model­len wordt dit verband onder­zocht. Carel Eijgen­raam (CPB)
Effici­ënte normen voor de bescher­ming van dijk­ringge­bieden tegen over­stromen.
Absolu­te veilig­heid tegen over­stromen is onmoge­lijk. Hoeveel zijn we bereid om uit te geven, waar verho­gen we dijken en waar laten we de kans op over­stro­ming wat groter zijn? De spreker heeft een methode ontwik­keld die zowel ant­woord kan geven op de vraag wanneer te investe­ren als op de vraag hoeveel dan te investe­ren. Voor meer informa­tie en aanmel­ding: www.wiskge­noot.nl. Jenneke Krüger

Ervaren docen­ten geven in de krokus- en meiva­kantie weer 3-daagse examen­trainin­gen. Zij worden daarbij geassis­teerd door oud-leerlin­gen die de afgelo­pen jaren met mooie cijfers voor deze vakken zijn ge­slaagd. Iedere groep bestaat uit maxi­maal 18 leerlin­gen. Per 6 leerlin­gen is er min­stens één begelei­der. Kijk voor meer informa­tie op www.mathema­ticus.nl.