nummer 846, 26 mei 2019

In WiskundE-brief 844 heb ik aan­dacht besteed aan de specta­culaire ontwik­keling van het examen­niveau bij wiskun­de op havo en vwo. In de beschou­wing hieron­der is de beurt nu aan het vmbo. Ook daar zijn wat betreft het wiskun­de-examen interes­sante bewegin­gen waar te nemen, zij het iets minder specta­culair. Op het vmbo is wiskun­de geen kernvak. Wel is sinds 2012 de rege­ling van kracht dat het gemid­delde cijfer voor het Centra­le Examen niet lager dan een vijf en een half mag zijn. Daar kwam voor de basisbe­roepsge­richte leerweg nog bij dat het centra­le eindexa­mencij­fer voor het eerst even zwaar meetel­de als het school­examen­cijfer. Zoals u hieron­der kunt zien, lagen de gemid­delden in 2012 flink hoger dan in 2011. De eindexa­menge­middel­den laten vanaf 2012 geen duide­lijke ontwik­keling zien. De cijfers voor 2017 liggen niet duide­lijk hoger dan in 2012¹⁾. Wat wel opvalt, is de piek in 2015. Virtue­le cijfers vmbo
In een in april 2019 gepubli­ceerd rapport geeft Cito virtue­le cijfers aan opeen­volgen­de lichtin­gen eindexa­menkan­didaten²⁾. Deze virtue­le cijfers zijn schat­tingen van welk cijfer de kandida­ten gemid­deld voor het eindexa­men van 2011 zouden hebben gehaald. Ik haalde dit rapport in WiskundE-brief 844 reeds aan. Bij vmbo-basis is er niet veel ver­schil te vinden tussen de werke­lijke en de virtue­le cijfers. Bij vmbo-kader zijn die ver­schil­len een stuk groter. De virtue­le cijfers laten daar tot en met 2015 een duide­lijke stij­ging zien. Ondanks de hape­ring daarna ligt het niveau volgens deze maat­staf in 2017 een stuk hoger dan in 2011/12. Bij de theore­tische en gemeng­de leerweg is de ontwik­keling grillig. Dit geldt zowel voor de echte als de virtue­le cijfers. In het genoem­de Citorap­port wordt uitdruk­kelijk vermeld dat men geen verkla­ring heeft voor de piek in 2015. Al met al lijken de virtue­le scores bij twee van de drie leerwe­gen op vmbo te wijzen op een zekere stij­ging van de examen­vaardig­heden. Vmbo GT, de leerweg met verre­weg de meeste deelne­mers, laat echter geen duide­lijke tendens zien. gk

1)	Hetzelf­de geldt als 2018 als laatste jaar wordt genomen. Ik bekijk de periode tot en met 2017 vanwege de beschik­baar­heid van de virtue­le cijfers; zie later in dit artikel.
2)	De gegeven met betrek­king tot vmbo basis in de oor­spronke­lijke versie van het Citorap­port bleken niet te kloppen.

Tijdens de havo en vwo wiskun­de-examens zijn op dit moment alleen grafi­sche rekenma­chines toege­staan die een zoge­naamde examen­stand kennen. Dat blijft voorlo­pig zo maar er wordt op dit moment gewerkt aan mogelij­ke alterna­tieven. Split­sing van het Cen­traal Examen in twee delen is daarbij een optie die serieus onder­zocht wordt. Omdat tijdens het examen alleen grafi­sche rekenma­chines zijn toege­staan die in examen­stand kunnen worden gezet, blijft het aantal func­ties die de examen­kandida­ten kunnen gebrui­ken beperkt. Hier­door biedt de grafi­sche rekenma­chine aan iedere examen­kandi­daat onge­veer dezelf­de moge­lijkhe­den. De ontwik­keling van grafi­sche rekenma­chines gaat echter steeds verder. Ook worden er steeds nieuwe machi­nes ter goedkeu­ring aan het College voor Toetsen en Examens (CvTE) aangebo­den. Het wordt daarom steeds lasti­ger om op het gebied van de ICT binnen de wiskun­de gelijke kansen te bieden aan examen­kandida­ten. Veel meer techno­logie beschik­baar
Er is naast de grafi­sche rekenma­chine veel meer techno­logie beschik­baar die bij wiskun­de kan worden ingezet. Als je het gebruik van laptops, tablets of smart­phones op het examen zou toe­staan, valt het gebruik van program­ma's als Geoge­bra, Excel en Mathema­tica ineens binnen de moge­lijkhe­den. Zoals u weet, is de inzet van deze techno­logie op dit moment nog niet toege­staan. In 2017 heeft de werk­groep "ICT bij het CE wiskun­de in havo-vwo" enkele scena­rio's verkend voor het inzet­ten van meer techno­logie tijdens de wiskun­de-examens. Tijdens een veld­raadple­ging werden de deelne­mers wat betreft de toe­komst van het gebruik van ICT tijdens het examen drie scena­rio's voorge­legd:

1. Een eindexa­men met alleen een 'gewone' rekenma­chine.
2. Een eindexa­men met een compu­ter met Geoge­bra.
3. Een eindexa­men in twee delen: een deel met en een deel zonder techno­logisch hulpmid­del.

De uitslag van de veld­raadple­ging werd in WiskundE-brief 824 gepubli­ceerd. Scena­rio 1 was voor de werk­groep geen optie omdat het beper­ken van ICT niet in lijn is met de ontwik­kelin­gen in de maat­schap­pij en in het onder­wijs. Scena­rio 2 is op dit moment logis­tiek niet haal­baar. Je kunt niet van alle scholen eisen dat zij tijdens het examen alle leerlin­gen gelijk­tijdig van een geschik­te compu­ter kunnen voor­zien. De veld­raadple­ging liet een voor­keur zien voor het derde scena­rio. Dat scena­rio wordt nu door het CvTE nader onder­zocht. Scena­rio 3: eindexa­men in twee delen?
Het CvTE voert op dit moment een onder­zoek uit met als doel, een scherp beeld te verkrij­gen van welke moge­lijkhe­den er zijn voor een wiskun­de-examen in twee delen. Enkele uit­gangs­punten zijn reeds geformu­leerd, waarbij steeds wordt gekeken naar:

• Inhoud
  Welke wiskun­de kunnen en willen we met en zonder techno­logie toetsen?
• Techno­logie
  Welke vormen van techno­logie zijn beschik­baar en bruik­baar?
• Organi­satie
  Welke vormen van organi­satie van een wiskun­de-examen zijn moge­lijk en haal­baar?

Dit inventa­riseren­de onder­zoek brengt visies, menin­gen en sugges­ties in kaart van experts en instan­ties die bij het wiskun­deonder­wijs in Neder­land zijn betrok­ken. Ook be­schrijft het onder­zoek wat er in het buiten­land op het gebied van de wiskun­de-examine­ring gebeurt. Het CvTE streeft er naar om in de zomer van 2019 een tussen­rappor­tage van dit onder­zoek gereed te hebben, inclu­sief aanbeve­lingen voor vervolg­stappen. Voorlo­pig zal de grafi­sche rekenma­chine met examen­stand de enige toege­stane vorm van techno­logie blijven tijdens de havo en vwo wiskun­de-examens. Martin van Reeu­wijk
College voor Toetsen en Examens (CvTE)

Bijna een jaar geleden heb ik aan­dacht besteed aan de rol van taal binnen de Centra­le Examens wiskun­de op vwo en havo. Zie WiskundE-brief 814 en WiskundE-brief 816. Nu het eerste tijdvak van de examens 2018-2019 achter de rug zijn, is het mis­schien interes­sant om hier nog eens op terug te komen. In mijn vorig onder­zoekje bekeek ik het aantal zinnen die de inlei­ding van een opgave telt. Een nadeel van deze methode is dat door het opknip­pen van een lange zin in kortere zinnen de talig­heid lijkt toe te nemen. Nu heb ik vooral gelet op het aantal woorden in de inlei­dende zinnen. Daar zitten natuur­lijk ook aller­lei haken en ogen aan. Wat is bijvoor­beeld precies een 'woord' in een wiskun­dige tekst. Gemaks­halve heb ik formu­les en derge­lijke buiten de telling gehou­den maar dat bete­kent beslist niet dat er geen andere ziens­wijze moge­lijk is. Het gaat mij meer om indica­ties dan om exacte aantal­len: Zoals te verwach­ten is, zijn de groot­ste aantal­len woorden bij wiskun­de A en wiskun­de C te vinden. Koplo­per is havo wiskun­de A met in totaal een kleine 1800 inlei­dende woorden. Dat is onge­veer acht keer zoveel woorden als in deze tekst staan. Het examen wiskun­de A havo scoorde in absolu­te zin de meeste klach­ten van leerlin­gen. Zou er een verband bestaan tussen talig­heid en het aantal klach­ten of staat dit los van elkaar? gk

In WiskundE-brief 844 besteed­den we aan­dacht aan het eindver­slag van SLO over de invoe­ring van het nieuwe program­ma vwo wiskun­de B. SLO bracht onlangs ook een eindver­slag uit over de invoe­ring van het nieuwe program­ma vwo wiskun­de A. Het eindver­slag over de invoe­ring van het nieuwe program­ma vwo wiskun­de A is voor het groot­ste deel geba­seerd op enquê­tes onder 58 docen­ten en 268 leerlin­gen. Daar­naast zijn er vier scholen bezocht en werden er gesprek­ken gevoerd met vijf docen­ten en twaalf leerlin­gen. Statis­tiek
Het eindver­slag be­steedt veel aan­dacht aan het onder­werp statis­tiek. Dit onder­werp is binnen het nieuwe program­ma niet alleen grondig op de schop genomen maar wordt nu alleen nog maar tijdens het school­examen ge­toetst. De vraag is of de statis­tiek hiermee voldoen­de uit de verf komt. Volgens de steek­proef, die overi­gens niet aselect kan worden genoemd, komt het werken met grote data­sets met behulp van ICT door­gaans mini­maal in slechts enkele lessen aan de orde. Slechts onge­veer de helft van de docen­ten stelt het doorlo­pen van de statis­tische onder­zoekscy­clus aan de orde. Statis­tiek wordt door veel van de geënquê­teerden vaak genoemd als sterk punt van het nieuwe program­ma. Tege­lijk wordt als zwak punt genoemd dat kansre­kening en het toetsen van hypothe­sen uit het program­ma is verdwe­nen. Wiskun­dige denkac­tivitei­ten
WDA (wiskun­dige denkac­tivitei­ten) is een gloed­nieuw onder­deel van het nieuwe wiskun­depro­gramma. De meeste onder­vraagde docen­ten beste­den enkele lessen aan wiskun­dig denken, waarbij het dan met name gaat om het oplos­sen van 'nieuwe' proble­men en minder om zaken als modelle­ren en abstra­heren. In hun toetsen komen modelle­ren, abstra­heren en logisch redene­ren weer wel vaak aan de orde. Algebra­ïsche vaardig­heden
Veel geënquê­teerden oorde­len posi­tief over de aan­dacht voor algebra­ïsche vaardig­heden in het nieuwe wiskun­depro­gramma. Er zijn echter ook tegenge­luiden. Sommige docen­ten vinden de aan­dacht voor algebra­ïsche vaardig­heden in het nieuwe program­ma te nadruk­kelijk en vinden dat het program­ma hier­door wel­licht te moei­lijk wordt. Oud versus nieuw
Volgens onge­veer de helft van docen­ten vereist de vernieu­wing van het program­ma een andere manier van lesge­ven. Niet ieder­een ziet dat als een vooruit­gang. Minder dan de helft van de docen­ten geeft nu met meer plezier les. De lesvoor­berei­ding vraagt nu mis­schien meer tijd maar verre­weg de meeste docen­ten vinden het program­ma wel goed te doen. Leerlin­gen
83% van de leerlin­gen vindt wiskun­de A een vak dat rede­lijk tot goed te doen is binnen de beschik­bare tijd. De menin­gen over de moei­lijk­heids­graad van het vak lopen uiteen maar het vak wordt vaker moei­lijk dan gemakke­lijk gevon­den. In het nieuwe program­ma voor wiskun­de A is er een ver­sterkte aan­dacht voor het oplos­sen van proble­men uit de prak­tijk. Over de vraag of dat het begrip ten goede komt, lopen de menin­gen uiteen. Het ant­woord op deze vraag luidt vaker 'nee' dan 'ja'.

De centra­le reken­toets is op het voortge­zet onder­wijs na dit school­jaar verle­den tijd. De uitwer­king van het alterna­tief is nog niet echt op gang gekomen. Wel is er onder­tussen uitge­breid onder­zoek gedaan naar de vraag hoe het alle­maal zo is gekomen. Bea Ros heeft voor het blad Didac­tief met een subsi­die van het Fonds bijzon­dere Journa­listie­ke Produc­ties uitge­breid onder­zoek gedaan naar het ont­staan en de teloor­gang van de reken­toets. In haar inlei­dende alinea vat zij het gehele drama kort maar krach­tig samen:

"142 Kamer­stukken, 4 kabinet­ten, 3 commis­sies, 97 moties, 5 school­jaren leerlin­gen die de toets maakten, 3 gezakte leerlin­gen en ruim 500 miljoen euro. Dat zijn de cijfers achter het Kamer­dossier 31332, offici­eel Doorlo­pende leerlij­nen taal en rekenen, vooral bekend als de reken­toets vo. Na ruim tien jaar sturen, traine­ren en leraren negeren zijn we met het rekenon­derwijs nauwe­lijks verder dan waar we ruim tien jaar geleden begon­nen."

Op dinsdag 11 juni 2019 vindt op de Radboud Univer­siteit in Nijme­gen de jaar­lijkse Wiskun­dedia­loog plaats. De Wiskun­dedia­loog is een studie­dag voor eerste­graads en tweede­graads docen­ten wiskun­de. Geduren­de deze dag worden deze docen­ten door middel van work­shops en lezin­gen bijge­praat over de nieuw­ste ontwik­kelin­gen binnen hun vakge­bied. Dit jaar ligt het accent op active­rende werkvor­men binnen de wiskun­deles. De Wiskun­dedia­loog wordt geopend met een plenai­re lezing. Hierna volgen er drie rondes met work­shops en lezin­gen en een slotle­zing van Bennie Mols. Work­shops en lezin­gen
Tijdens de drie rondes met work­shops en lezin­gen heeft u de volgen­de keuze:

ronde	of...	of...	of...
1	Pieter van Engelen: Formeel Denken	Bernard van Keste­ren Automa­tisch inroos­teren Zermelo	Fred Lauwers De derde afgelei­de
2	Saskia van Boven Buil­ding Thin­king Class­rooms	André Heck Een andere dimen­sie van GeoGe­bra	Erik van Haren Smart­pool
3	Chris Kooloos Klassen­gesprek­ken	Eline Rens­kers Wiskun­dige Denkac­tivitei­ten	Bart Penning de Vries Curricu­lumon­derzoek

Volg deze link voor meer informa­tie of om u aan te melden. Tim van Lier, Coördi­nator Vak­steun­punt Wiskun­de
Radboud Pre-Univer­sity College of Science

Bob Pruiks­ma, docent wiskun­de aan de CSG Boger­man Sneek, heeft voor havo en vwo een aantal instruc­tievi­deo's voor wiskun­de D op YouTube ge­plaatst. De bedoe­ling is dat een leer­ling die thuis een instruc­tievi­deo heeft bekeken, geen klassi­kale instruc­tie meer nodig heeft. Daar­door kan de lestijd volle­dig worden ge­bruikt voor het maken van opgaven en het stellen van vragen. Door toepas­sing van het "Flip­ping the class­room"-princi­pe kunnen er gemakke­lijker combina­tiegroe­pen worden samenge­steld waar­door het vak wiskun­de D ook voor kleine­re scholen betaal­baar wordt. De video's zijn gemaakt op basis van de 11^e editie van Getal & Ruimte. Binnen­kort nog meer video's
Het initia­tief van Bob Pruiks­ma is nog in ontwik­keling. Zo zullen er binnen­kort voor havo nog een aantal nieuwe instruc­tievi­deo's op Youtube worden bijge­plaatst. Deze video's behande­len de stof van hoofd­stuk 7 en de hoofd­stukken hierna. Als er behoef­te aan blijkt te zijn, over­weegt Bob Pruiks­ma voor het vwo ook video's te maken voor de hoofd­stukken 13 en 15. Alle video's van Bob Pruiks­ma zijn te vinden op zijn YouTube kanaal.

Op de veiling website van het Wereld­wiskun­de Fonds (Wwf) wordt flink geboden op de beschik­bare voor­raad aan oude school­boeken, puzzel­boeken, geschie­denis­boeken en boeken over wiskun­dedidac­tiek. Sla ook uw slag voor het te laat is. Er zijn onder­tussen al bijna 600 bieding­en uitge­bracht. We gaan met de veiling de laatste week in en traditi­oneel wachten veel bieders tot de laatste moge­lijk­heid. Maar dat is hele­maal niet nodig. U kunt ook nu al voor uw favorie­te boeken een maximum­bod uitbren­gen. Uw bod wordt dan, als dat nodig is, automa­tisch in kleine stapjes voor u ver­hoogd tot aan uw maximum. De gehele procedu­re staat hier beschre­ven. Razend span­nend
Vooral om de mooie buiten­landse studie­boeken wordt op de site gevoch­ten. De bieding­en buite­len over elkaar. Dat maakt het bieden soms razend span­nend. Maar buiten die topboe­ken zijn er nog heel veel andere prachti­ge koopjes te behalen. De start­prijzen van de veiling zijn altijd erg laag; het kan u de kop echt niet kosten. We vertrou­wen erop dat de veiling weer een mooie som zal opbren­gen. De gehele op­brengst, u weet dat onder­tussen, wordt besteed aan projec­ten ten bate van het wiskun­deonder­wijs in ontwik­kelings­landen. Volg deze link en sla onver­bidde­lijk uw slag op de meivei­ling. Jos Remijn (wereld­wiskun­deboe­ken@nvvw.nl)
Veiling­meester WwF

Het Willem Lode­wijk Gymnasi­um in Gronin­gen zoekt een eerste­graads docent wiskun­de voor onge­veer 0,6 fte. Het gaat om een tijde­lijke betrek­king met moge­lijk uit­zicht op een vast dienst­verband. Wij zijn een klein, christe­lijk gymnasi­um met onge­veer 740 leerlin­gen. Samen zorgen we voor goede resulta­ten, een vernieu­wende aanpak van het onder­wijs en een uitste­kende sfeer. Nadere inlich­tingen kunt u verkrij­gen bij de heer Nagte­gaal. Hij ont­vangt graag uw schrif­telijke reactie, per e-mail of brief, vóór 2 juni 2019. Het adres van de school is Verzets­strij­ders­laan 220, 9727 CK Gronin­gen. Het e-maila­dres is nag@wlg.nl en het tele­foonnum­mer is 050-5262094. De gesprek­ken vinden plaats op woens­dag 5 juni 2019.

In dit voor­jaar komen wij naar u toe om ervarin­gen en ideeën uit te wisse­len over Getal & Ruimte. Onze uitge­vers en auteurs gaan graag met u in gesprek en geven u tips en sugges­ties om opti­maal gebruik te kunnen maken van het lesmate­riaal. Daar­naast mogen wij u als eerste meene­men in de vernieu­wingen van de 12e editie vmbo boven­bouw én de nieuwe 12e editie voor de tweede fase. We hebben nog enkele plekken beschik­baar voor de gratis gebrui­kersbij­een­komst in Oss. Meld u via deze link gratis en gemakke­lijk aan.

Wilt u graag de examen­resulta­ten van uw leerlin­gen verbete­ren? Over­weeg dan eens de over­stap naar de HP Prime grafi­sche rekenma­chine. De HP Prime biedt uw leerlin­gen name­lijk enorm veel voorde­len voor dezelf­de prijs als uw huidige machine. Zo hebben uw leerlin­gen dankzij het touch­screen geen pro­bleem meer met de window­instel­lingen en kunnen zij stel­sels van lineai­re verge­lijkin­gen eenvou­dig direct oplos­sen. Breuken en wortels vereen­voudi­gen uw leerlin­gen met één druk op de knop. Wilt u meer weten? Mail dan naar info@hp-prime.nl.