nummer 800, 4 februa­ri 2018

Mogen leerlin­gen bij wiskun­de B gebruik maken van formu­les die zij hebben geleerd met wiskun­de D? Dat was in juli 2017 de vraag van Trudy Kloos aan het CvTE. In WiskundE-brief 783 plaats­ten wij hier­over het artikel 'Gehin­derd door wiskun­de D-kennis'. In WiskundE-brief 784 en WiskundE-brief 787 versche­nen over dit onder­werp reac­ties van Tineke van den Berg en Paul Gerard van de Veen. Paul Gerard van de Veen vroeg naar aanlei­ding van dit onder­werp aan het College voor Toetsen en Examens (CvTE) om duide­lijk­heid te ver­schaf­fen. Op de site van het CvTE vonden we een uitge­breide reactie over dit onder­werp. Het ant­woord van het CvTE dat in de Wiskun­dE-brief werd samenge­vat met "Nee, ze moeten die stellin­gen dan weer eerst bewij­zen" had, zo schrijft het CvTE, uitslui­tend betrek­king op de examens vwo wiskun­de B oude stijl, waarbij een formule­blad werd ver­strekt met stellin­gen die ge­bruikt mochten worden. Stellin­gen die niet op dit formule­blad stonden, moesten dus wel eerst bewezen worden. De situa­tie is met het nieuwe wiskun­depro­gramma nu anders. Het CvTE:

"Op de centra­le examens volgens het nieuwe examen­program­ma met analyti­sche meetkun­de gebrui­ken de leerlin­gen geen lijst met defini­ties en stellin­gen. Het ant­woord van het CvTE waar­naar in de Wiskun­dE-brief 783 wordt verwe­zen, is dus niet van toepas­sing op de centra­le examens van het nieuwe program­ma."

Wiskun­de D-kennis is nu toege­staan
Voor de komende examens geldt dat een vakin­houde­lijk correct ant­woord altijd alle punten krijgt. Dat geldt uitdruk­kelijk ook voor een ant­woord dat niet in het beoorde­lingsmo­del staat. Het CvTE:

"Zeker bij leerlin­gen die wiskun­de D volgen naast wiskun­de B ligt het voor de hand dat dit vaker voor­komt. Maar ook kennis opge­daan bij andere vakken of uit eigen interes­se kan ge­bruikt worden. We mogen niet van leerlin­gen verwach­ten dat zij beden­ken waar ze iets geleerd hebben voordat zij een oplos­sings­strate­gie kiezen."

Het ant­woord van het CvTE houdt in dat kennis van wiskun­de D ge­bruikt mag worden op het wiskun­de B-examen, tenzij er in de vraag een speci­fieke oplos­sings­strate­gie wordt voorge­schre­ven of uitge­sloten. Volg deze link voor de volledi­ge reactie van het CvTE.

De eerste wiskun­de eindexa­mens vwo volgens het nieuwe examen­program­ma komen er aan. Het goed kennen van het eindexa­menpro­gramma en de sylla­bus voor het Cen­traal Examen 2018 is voor u uiter­aard een must. Maar houden de examen­makers zich ook aan het program­ma? In de Sylla­bus wiskun­de B VWO 2018 is nauwkeu­rig omschre­ven wanneer een (bepaal­de) inte­graal exact bere­kend moeten kunnen worden:

"... indien de inte­grand de gedaan­te c·f(x)+d of f(c·x+d) heeft, waarbij f een machts­functie, een exponen­tiële functie, de functie sinus of de functie cosinus is en indien de inte­grand de som van twee of meer van deze func­ties is ..."

In het pilot­examen 2012, eerste tijdvak, kwam echter bij vraag 2 de volgen­de inte­graal aan bod: De bijbeho­rende opgave is ook opgeno­men in tenmin­ste één grote wiskun­de methode. In de Face­book-groep Leraar Wiskun­de werd deze maand de vraag opgewor­pen of voor de bereke­ning geen partië­le integra­tie nodig is. Een van de deelne­mers heeft de vraag voorge­legd aan het CvTE en kreeg de volgen­de reactie:

"Bij twee van de drie oplos­singsme­thodes dient de kandi­daat een primi­tieve van (1 + ax)·eax te bepalen om deze opper­vlakte te bereke­nen. Uw consta­tering dat parti­eel integre­ren geen deel uit­maakt van de examen­stof (zie sylla­bus) is juist. In deze situa­tie dient de kandi­daat te beden­ken dat een primi­tieve van de gegeven functie in ieder geval de factor eax dient te bevat­ten en al puzze­lend tot een juiste, volledi­ge primi­tieve moet komen."

Nu kun je met wat slim probe­ren een heel eind komen bij het bepalen van primi­tieven. Het gebruik van dat argu­ment bij het omzei­len van een uitdruk­kelijke afbake­ning van examen­stof lijkt me echter geen goede zaak. Zeker nu de zoge­naamde 'Wiskun­dige DenkAc­tivitei­ten' (WDA) expli­ciet in de eindexa­menpro­gramma's zijn opgeno­men, kan de verlei­ding voor examen­makers groot zijn om op deze manier beper­kingen van het eindexa­menpro­gramma te omzei­len. Een herfor­mule­ring van de eisen in de sylla­bus lijkt mij hier gepast. Gerard Kool­stra

Nadat het enkele jaren min of meer werd 'gedoogd', is het met ingang van school­jaar 2017-2018 ook uitdruk­kelijk wette­lijk toege­staan om op havo en vwo naast het profiel­wiskun­devak een tweede wiskun­devak te kiezen. De combina­tie wiskun­de A met wiskun­de C is echter niet toege­staan. In een nieuws­brief die in de afgelo­pen week door OCW werd ver­stuurd, wordt gemeld dat er onduide­lijk­heid blijkt te bestaan over deze kwestie. Om de moge­lijk­heid van het 'dubbel kiezen' onder de aan­dacht te brengen, staat in het Inrich­tingsbe­sluit van de Wet Voortge­zet Onder­wijs geëxpli­citeerd dat leerlin­gen een tweede wiskun­devak mogen kiezen als extra vak, (alleen) als het gaat om een combina­tie van wiskun­de A met wiskun­de B of een combina­tie van wiskun­de B met wiskun­de C. Tweede tijdvak
Er is echter één pro­bleem: de centra­le examens voor alle wiskun­devak­ken van een bepaal­de oplei­ding vinden "om organi­satori­sche redenen" op dezelf­de dag plaats. Leerlin­gen die examen willen doen in een tweede wiskun­devak moeten er dus reke­ning mee houden dat zij dit examen in het tweede tijdvak moeten doen. Indien dat nodig is, kunnen zij dan in het derde tijdvak herkan­sen.

Op zater­dag 28 januari 2018 is profes­sor Frede­rik van der Blij op 94-jarige leef­tijd overle­den. Frede­rik van der Blij is van grote beteke­nis geweest voor het Neder­landse wiskun­deonder­wijs. Van der Blij was na zijn wiskun­destu­die en promo­tie eerst docent wiskun­de aan de HBS te Warffum en daarna aan het Stede­lijk gymnasi­um te Breda. Hij was een van de eerste wiskun­dige onder­zoekers van het Mathema­tisch Centrum, het latere CWI, te Amster­dam en sinds 1955 hoogle­raar aan de Univer­siteit Utrecht. Van der Blij heeft een belang­rijke rol ge­speeld bij de naoor­logse vernieu­wing van het Neder­landse wiskun­deonder­wijs. Hij was onder andere direc­teur van het Insti­tuut voor de Ontwik­keling van het Wiskun­de Onder­wijs (IOWO), een voorlo­per van het huidige Freuden­thal Insti­tuut. De relatie tussen kunst en wiskun­de had zijn warme belang­stel­ling. Hij was een van de oprich­ters en de eerste voorzit­ter van de stich­ting Ars et Mathe­sis. Van der Blij-effect
Als hoogle­raar wiskun­de was Van der Blij bekend en geliefd. Een 'effect' dat naar hem is genoemd, wordt wel als volgt omschre­ven:

"In het college werd een wiskun­dige theorie tot leven ge­bracht. De laatste vijf minuten culmi­neerden in een door­schij­nend heldere presen­tatie van de hoofdre­sulta­ten. In verhe­ven stem­ming, je hebt deel gehad aan wiskun­de, ga je naar huis ... om te ontdek­ken dat het hele­maal niet lukt om te reprodu­ceren wat je daarnet nog hele­maal begreep."

Zelf vond hij dit effect posi­tief. Hij zette dat in 2004 in een uitge­breid inter­view met Hans van Lint en Rob de Jong uiteen. Profes­sor van der Blij was erelid van het Konink­lijk Wiskun­dig Genoot­schap (KWG) en van de Neder­landse Vereni­ging van Wiskun­delera­ren (NVvW). Uiter­aard be­steedt ook de NVvW aan­dacht aan het overlij­den van Frede­rik van der Blij.

Als je iets zelf hebt ontdekt, dan begrijp je het ook. Zelf onder­zoeken en ontdek­ken is leuk. Je krijgt daar­door een gevoel van eige­naar­schap over je eigen ontdek­king. Boven­dien is het goed om met elkaar op onder­zoek te gaan en om je vond­sten met elkaar te delen. Die erva­ring is goed bruik­baar in uw wiskun­deonder­wijs. Door zelf te ontdek­ken, gaat de aan­dacht uit naar meer dan alleen de leer­stof. Ook vaardig­heden die de leer­stof ontstij­gen, komen zo aan bod. Zoals het kunnen stellen van de juiste onder­zoeks­vragen, het aanpak­ken van een pro­bleem of het communi­ceren over dat pro­bleem. Onder­zoekend leren
Hoe zet je onder­zoekend leren in je onder­wijs in? Die vraag komt aan bod op onze twee­daagse work­shop die wordt gehou­den op maandag 12 maart en dinsdag 22 mei 2018, steeds van 15:00 tot 18:00 uur, op de Univer­siteit Utrecht. Deze work­shop wordt u gratis aangebo­den vanuit het MERIA-project, een Euro­pees project over onder­zoekend wiskun­de leren. Volg deze link voor meer informa­tie of om u in te schrij­ven. Rogier Bos

Op vrijdag 17 novem­ber 2017 vond de voorron­de van de Alympia­de plaats. Tijdens deze voorron­de moesten teams van vier leerlin­gen binnen één dag een prakti­sche op­dracht uitvoe­ren. De Alympia­de wordt al sinds 1989 door het Freuden­thal insti­tuut georga­niseerd. Op tiental­len scholen in Neder­land, Duits­land, Denemar­ken, Iran en Japan en ook op Aruba, Curaçao en Sint Maarten deden ruim 1300 teams aan de voorron­de van de Alympia­de mee. Finale
Op 9 en 10 maart 2018 vindt in Garde­ren de finale plaats, waar­voor zich in totaal zes Neder­landse teams hebben weten te plaat­sen. Dit zijn teams van het Greijda­nus College uit Zwolle (2 teams), CSG Leo Vroman uit Gouda (2 teams), het Lorentz Casimir Lyceum uit Eindho­ven en het Rythovi­us College uit Eersel. Uiter­aard wensen wij alle deelne­mende leerlin­gen veel succes in de finale en felici­teren we de betrok­ken collega's met deze presta­tie. Ruud Stol­wijk, ruud.stol­wijk@cito.nl
Voorzit­ter Alympia­decom­missie

Bèta­part­ners nodigt u van harte uit voor de Bèta­part­nerscon­feren­tie 2018 op donder­dag 15 maart 2018. Het thema van deze confe­rentie luidt 'IJzer­sterk onder­wijs'. We zullen te gast zijn bij het bedrijf Tata Steel in Velsen-Noord. Er is een inspire­rend program­ma voor u samenge­steld. Natuur­lijk wordt u bij Tata Steel op een interes­sante rondlei­ding getrak­teerd. Verder kunt u kiezen uit de volgen­de work­shops:

• Alfa, bèta en gamma: een ijzer­sterke combina­tie.
• Platoni­sche veel­vlakken.
• Mobiel meten in een drugs­lab.
• De chemie van olie­verf­schilde­rijen.
• Lesidee­ën voor elemen­taire deel­tjes.

Interes­sant is de lezing die Dick Mol zal geven over het mammoet­kadaver dat door school­kinde­ren in het hoge noorden van Arc­tisch Siberië is gevon­den. Onder zijn leiding heeft een groot interna­tionaal team van weten­schap­pers dat kadaver onder­zocht. Volg deze link voor het volledi­ge program­ma of om u in te schrij­ven. De Bèta­part­nerscon­feren­tie 2018 vindt plaats op donder­dag 15 maart 2018 van 15:30 tot 20:30 uur. Plaats van hande­ling is Tata Steel, Wenckel­bach­straat 1, 1951 JZ Velsen-Noord. In­schrij­ven kan tot en met donder­dag 1 maart 2018. De confe­rentie kost € 100,= per deel­nemer maar is uiter­aard geheel gratis voor leden van Bèta­part­ners.

'Looking at the inside of an object with mathema­tics' is de titel van de lezing die Joost Baten­burg op maandag 19 maart 2018 in Gronin­gen zal houden. Joost Baten­burg is hoogle­raar aan het Mathema­tisch Insti­tuut van de Univer­siteit Leiden en groeps­leider Computa­tional Imaging aan het Centrum voor Wiskun­de en Informa­tica in Amster­dam. In zijn lezing be­spreekt Baten­burg metho­den om binnen objec­ten te kijken zonder deze open te maken. Met behulp van tomogra­fie is het moge­lijk om met een serie röntgen­foto's, vanuit ver­schil­lende hoeken genomen, een goed beeld te krijgen van hoe het er binnen het 'object', bijvoor­beeld een patiënt, uit ziet. Tomogra­fie heeft zich ontwik­keld tot een volwas­sen onder­deel van de wiskun­de waarin ideeën vanuit de analyse, meetkun­de, lineai­re algebra en optima­lisatie worden ge­bruikt. Kijk­richtin­gen
Hoeveel kijk­richtin­gen zijn er voor een betrouw­baar beeld mini­maal nodig? Dat is een van de vragen die tijdens de lezing aan bod komen. Als uitsmij­ter be­steedt Baten­burg ook aan­dacht aan het maken van driedi­mensio­nale beelden met behulp van wifi signa­len. U bent op maandag 19 maart 2018 vanaf 19:30 uur welkom in de aula van het Acade­miege­bouw, Broer­plein 5, Gronin­gen. De toegang is gratis. De Johann Bernoul­li Lezing wordt georga­niseerd door de Johann Bernoul­li Stich­ting voor de Wiskun­de.

Op vrijdag 23 februa­ri 2018 organi­seren de NVvW en de stich­ting Math4­All een bijeen­komst waar het ontwik­kelen van lesmate­riaal voor wiskun­de in het middel­baar beroeps­onder­wijs cen­traal staat. Wiskun­de is een basis­vak binnen de techni­sche en economi­sche richtin­gen van het mbo. Dat hoort het tenmin­ste te zijn maar roos­kleurig is de situa­tie van het vak niet. Bij docen­ten bestaat een enorme behoef­te aan ge­schikt lesmate­riaal. Veel metho­des zijn name­lijk verou­derd terwijl uitge­vers niet staan te sprin­gen om in nieuwe metho­des te investe­ren. Wiskun­degat
Tel daar nog eens bij dat de lestijd voor wiskun­de door invoe­ring van het vak rekenen op veel mbo-scholen onder druk staat en het pro­bleem is duide­lijk: op het mbo is er een wiskun­degat aan het ont­staan. Geluk­kig is Stich­ting Math4­All in dat gat gespron­gen en kan de aanslui­ting naar het hbo door het mbo wel­licht weer worden terugge­vonden. Op de website van Math4­all is al wat materi­aal, met name over lineai­re verban­den, te vinden. Op de bijeen­komst willen de organi­satoren het beschik­bare materi­aal bespre­ken en plannen maken voor de verdere ontwik­keling. De bijeen­komst wordt op vrijdag 23 februa­ri 2018 van 13:00 uur tot 16:00 uur gehou­den. Plaats van hande­ling is het gebouw van de Stich­ting Consor­tium Beroeps­onder­wijs, Disket­teweg 11, Amers­foort.

De aankon­diging in WiskundE-brief 795 heeft bij veel lezers de indruk gewekt dat de drie vermel­de bijeen­komsten gezamen­lijk één doorlo­pende cursus vormen. Dat is echter niet zo; de bijeen­komsten staan los van elkaar. U kunt zich dus voor iedere gelegen­heid apart in­schrij­ven. Na de succes­volle bijeen­komst Wortels van Fermat van vorig jaar belich­ten Desiree van den Bogaart en Peter Lanser nu achter­eenvol­gens de meetkun­de, de goniome­trie en het getalbe­grip vanuit een histo­risch perspec­tief. De bijeen­komsten zijn op donder­dag 22 februa­ri 2018, woens­dag 14 maart 2018 en maandag 26 maart 2018, steeds van 16:30 tot 20:30 uur, in het Kohn­stamm­huis, Wibaut­straat 2-4, Hoge­school van Amster­dam. Volg deze link voor meer informa­tie of om u in te schrij­ven.

We hebben met de achthon­derdste WiskundE-brief weer een mijl­paal bereikt. Achthon­derd nieuws­brieven in iets meer dan twintig jaar. Dat zijn er onge­veer veertig per school­jaar. Dat is iets waar wij heel trots op zijn. Met achthon­derd nieuws­brieven hebben we de afgelo­pen decen­nia heel wat wiskun­dedocen­ten doorlo­pend geïnfor­meerd over aller­lei zaken die met wiskun­de en onder­wijs te maken hebben. Veel onder­werpen zijn daarbij de revue gepas­seerd. De Tweede Fase, ver­nieuwde examen­program­ma's, moderne didacti­sche inzich­ten, ICT in het wiskun­deonder­wijs, verwar­rende correc­tievoor­schrif­ten, verwik­kelin­gen rond het rekenon­derwijs; ach, het is eigen­lijk teveel om op te noemen. Stijgen­de trend
Het wiskun­deonder­wijs staat steeds meer in het teken van de statis­tiek. Daarom is het plaatje rechts mis­schien wel aardig. Op dit moment ontvan­gen ruim 4700 collega's de WiskundE-brief weke­lijks in hun mail. De grafiek rechts geeft de groei aan van het aantal abon­nees over de achthon­derd nieuws­brieven die er tot op vandaag zijn ver­stuurd. De nog steeds stijgen­de trend van die grafiek is voor ons een prettig teken dat we met de WiskundE-brief nog steeds in een behoef­te voor­zien. Voor­spel­ling
Als wiskun­dige is het natuur­lijk leuk om deze grafiek eens aan een kleine regres­sie-analyse te onder­werpen. Een lineai­re regres­sie ligt voor de hand. De formule is eenvou­dig met een grafi­sche rekenma­chine te bepalen: A=5,85·N−134 waarbij A het aantal abon­nees en N het nummer van de WiskundE-brief is. Die regres­sie (rood) past heel aardig maar we zijn natuur­lijk niet met een nega­tief aantal abon­nees begon­nen. De exponen­tiële regres­sie A=51,1·1,00712^N (groen) lijkt echter hele­maal nergens op. Die kunnen we maar beter meteen verge­ten. De grafi­sche rekenma­chine kent geluk­kig op het gebied van de regres­sie-analyse nog veel meer trucjes. Wat jammer dat we die op havo of vwo bijna nooit gebrui­ken. De kwadra­tische regres­sie werkt bijvoor­beeld best wel aardig: A=0,0025·N²+3,85·N+99,6 (blauw). Mis­schien kunt u nog wel een betere formule vinden maar met dat kwadra­tische model durven wij wel voor­zichtig te voor­spellen dat WiskundE-brief 1000 in het jaar 2023 naar onge­veer 6450 abon­nees zal worden verzon­den. Op naar de duizend
Hoe dan ook, wat de redac­tie betreft, volgen er na vandaag nog heel veel nieuwe WiskundE-brieven. Wij hebben er name­lijk nog steeds heel veel plezier in om u grondig en objec­tief te informe­ren over het Neder­landse wiskun­deonder­wijs. Bijdra­gen van u als abonnee blijven daarbij altijd bijzon­der welkom. Uw redac­tie

Een van onze docen­ten gaat een jaar naar het buiten­land. Daarom hebben we voor school­jaar 2018-2019 een tijde­lijke vacatu­re van onge­veer 0,6 fte voor een tweede­graads docent wiskun­de. De tijde­lijke vervan­ging kan ook op basis van een LIO-stage geschie­den. Neem voor meer informa­tie contact op met onze rector Berna­dette Pelgrum via b.pelgrum@cgbn.nl).

Voor het Stanis­lascol­lege West­plant­soen (Hof van Delft) zijn wij per direct op zoek naar een eerste­graads docent wiskun­de voor 11 lesuren wiskun­de B aan vwo 4, vwo 5 en vwo 6. Het betreft hier een tijde­lijke aanstel­ling met uit­zicht op vast. Het Stanis­lascol­lege West­plant­soen ver­zorgt onder­wijs voor gymnasi­um, athene­um en havo en telt onge­veer 1800 leerlin­gen. Wij bieden onze leerlin­gen een brede oplei­ding van een hoog niveau. De vwo-afde­ling van onze school is in het bezit van het predi­caat 'excel­lente school'. Bel (015 7506050) of mail (kraj@stanis­lascol­lege.nl) voor meer informa­tie naar de heer J. van der Kraan. Uw sollici­tatie met curricu­lum vitae kunt u mailen aan mevrouw E.A.J. Beekink via pz@stanis­lascol­lege.nl.

Bent u een creatie­ve en vakbe­kwame docent die graag met vakin­houd en toet­sing bezig is? Per 1 augus­tus 2018 zoeken wij docen­ten voor de con­struc­tiegroe­pen van centra­le toetsen en examens voor wiskun­de vmbo kb/gt papier, vmbo kb digi­taal en wiskun­de A/C vwo. Kijk voor meer informa­tie vanaf 3 februa­ri op www.cito.nl en reageer uiter­lijk op 28 februa­ri.

Ontdek de didacti­sche ge­bruiks­moge­lijkhe­den van de 3D-module van GeoGe­bra in een tiende­lige webcur­sus die dit voor­jaar via het Mathelo leer­plat­form wordt aangebo­den. Een uitge­breide sylla­bus en een collec­tie interac­tieve applets zullen onge­twij­feld een meer­waarde beteke­nen voor uw dage­lijkse lesprak­tijk. Meer informa­tie en in­schrij­ven via onze website.

Study­flow ontwik­kelt in samen­werking met Eliane Gerrits (cartoo­nist voor onder andere NRC Next) twaalf unieke reken­posters. De eerste drie reken­posters 'Tijd', 'Metriek stelsel' en 'Meetkun­de' waren al klaar. Nu pronken er drie nieuwe reken­posters in de webshop, name­lijk 'Breuken', 'Geld' en 'Procen­ten'. Op iedere poster wordt het onder­werp op een levendi­ge en fanta­sierij­ke manier aan de leer­ling uitge­legd. Daarbij zijn de posters zo ontwor­pen dat leerlin­gen er met hun tele­foon eenvou­dig foto's van kunnen maken. Bestel deze posters via www.reken­posters.nl.