nummer 793, 26 novem­ber 2017

Deze maand kwamen er wat cijfers in de publici­teit waaruit bleek dat in het primair onder­wijs de gemid­delde groeps­grootte de laatste jaren welis­waar vrijwel con­stant is geble­ven maar dat het aandeel grote groepen van meer dan 25 leerlin­gen en zeer grote groepen van meer dan 30 leerlin­gen behoor­lijk is toegeno­men. Een derge­lijk bericht schreeuwt om een nadere toelich­ting. Laten we daarom eens kijken naar de ver­schil­lende manie­ren waarop je derge­lijke gege­vens kunt presen­teren. Een objec­tieve centrum­maat?
De gemid­delde groeps­grootte in het primair onder­wijs ligt in de laatste jaren iets boven 23 leerlin­gen. Op het eerste gezicht is dat een gerust­stel­lend gegeven. Maar gemid­delden kunnen behoor­lijk mislei­dend zijn. Wanneer een school één groep van 10 leerlin­gen en twee groepen van 30 leerlin­gen heeft, dan kun je naar waar­heid beweren dat de gemid­delde groeps­grootte op onge­veer 23 leerlin­gen ligt. Je kunt ook echter naar waar­heid conclu­deren dat bijna 86% van de leerlin­gen in een volle klas met 30 leerlin­gen zit. De mediaan kan als centrum­maat net zo mislei­dend zijn. Heb je drie groepen van respec­tieve­lijk 10, 15 en 30 leerlin­gen, dan is de mediane groeps­grootte gelijk aan 15 leerlin­gen. Maar ook in deze situa­tie zit meer dan de helft van de leerlin­gen in zo'n volle klas. Wat is het juiste perspec­tief?
In de prak­tijk zijn de ver­schil­len uiter­aard niet zo drama­tisch als in de twee voor­beelden hierbo­ven. Toch ziet de proble­matiek van de groeps­grootte er vanuit de optiek van de leer­ling heel anders uit dan vanuit de optiek van het ministe­rie van Onder­wijs, Cultuur en Weten­schap (OCW). Zo publi­ceerde OCW eind 2016 het volgen­de histo­gram: In de begelei­dende tekst stond dat (in 2016) bijna 65% van de groepen in het basison­derwijs minder dan 26 leerlin­gen telt terwijl slechts 6,6% van de groepen meer dan 30 leerlin­gen telt. Maar deze cijfers geven een verwron­gen beeld van de reali­teit vanwege het simpele feit dat er in grote groepen gemid­deld meer leerlin­gen zitten dan in kleine groepen. Op basis van het plaatje van OCW heb ik een histo­gram gemaakt waarbij niet de groepen maar de leerlin­gen het uit­gangs­punt zijn. In de onder­staande figuur is het ver­schil tussen mijn benade­ring en die van OCW goed te zien. De volle klassen tellen nu sterker mee want die bevat­ten nu eenmaal meer kinde­ren per klas. In mijn histo­gram kun je zien dat onge­veer 44% van de leerlin­gen in het primair onder­wijs les krijgt in groepen van 26 leerlin­gen of meer. Bijna 10% van de leerlin­gen krijgt zelfs les in groepen met 31 of meer leerlin­gen. Rocket science?
De bereke­ning die achter dit histo­gram schuil gaat, is in wezen gelijk aan mijn eerdere, eenvou­dige voor­beeld met drie groepen van 10, 15 en 30 leerlin­gen. Het is dan ook geen 'rocket science'; de absolu­te frequen­ties zijn niet interes­sant en kunnen voor het gemak van de bereke­ning bijvoor­beeld op tien keer het percen­tage worden gesteld. Doe je dat, dan kun je vervol­gens het aantal leerlin­gen per groep afzet­ten tegen het totaal aantal leerlin­gen. Het is een eenvou­dige benade­ring van de feiten die iedere leer­ling met enig benul van statis­tiek en Excel kan uitvoe­ren en in beeld kan brengen. Voorge­zet onder­wijs
Over de groeps­grootte in het voortge­zet onder­wijs is veel minder bekend. Wel is er, ook eind 2016, door OCW een onder­zoek gepubli­ceerd dat werd geba­seerd op een enquête onder enige tiental­len scholen. De belang­rijkste resulta­ten zijn samenge­vat in onder­staande figuur. Perspec­tief van de leer­ling
Ook met behulp van deze gege­vens kunnen we de groeps­grootte vanuit het perspec­tief van de leer­ling bekij­ken. Voor de bereke­ning kan dan worden uitge­gaan van de klassen­middens van de klassen met bekende boven- en onder­grenzen (zoals 10 t/m 14 leerlin­gen) en een geschat klassen­gemid­delde als onder-of boven­grens ont­breekt. Laten we bijvoor­beeld eens kijken naar de havo-cijfers. 15% van de havo­groepen bevat­ten 30 of meer leerlin­gen. Absolu­te frequen­ties zijn niet van belang dus laten we eens van een totaal van 1000 groepen uitgaan. Laten we verder de gemid­delde grootte van een 30+ groep op 31 leerlin­gen stellen. Je kunt dan bereke­nen dat 0,15 × 1000 × 31 = 4650 leerlin­gen zich een (paar) uur per week in een 30+ groep bevin­den. Die bereke­ning kan uiter­aard voor alle oplei­dingen en alle groeps­groot­tes worden uitge­voerd. Bij de klein­ste groepen van 10 of minder leerlin­gen heb ik 7 als geschat klassen­gemid­delde genomen. Op die manier kom ik tot het volgen­de over­zicht: Het blijkt dat vanuit het perspec­tief van de leerlin­gen op mavo (vmbo-tl), havo en vwo verre­weg de meeste lessen plaats­vinden in groepen van 25 of meer leerlin­gen. Op het havo vindt zelfs 19% van de lessen plaats in groepen van 30 of meer leerlin­gen. Ander gezegd: een wille­keurig gekozen havo­leer­ling zal gemid­deld 19% van zijn of haar lestijd door­brengen in groepen van 30 of meer leerlin­gen. gk bronnen:
Kamer­brief over groeps­grootte in het funde­rend onder­wijs, 20-12-2016.
Groeps­grootte in het vo (rapport Regio­plan, decem­ber 2016).

Het CvTE heeft voor de digita­le examens van 2018 een aantal nieuwe ontwik­kelin­gen aange­kondigd. Zo wordt de pilot voor een tweede correc­tie uitge­breid, komt er een vereen­voudig­de versie van de Facet toolbox beschik­baar voor vmbo BB en wordt het voor de examina­toren moge­lijk om in een bevei­ligde omge­ving met elkaar inhoude­lijk te overleg­gen. Zie ook WiskundE-brief 787. Het is duide­lijk: CvTE doet zijn best om aan een aantal bezwa­ren tegen de digita­le examens tege­moet te komen. Maar hoe staat het met de digita­le examens zelf? Verge­lijking
Het CvTE heeft één schrif­telijk examen wiskun­de en twee digita­le examens wiskun­de uit 2017 open­baar gemaakt. Dat gaf mij een goede gelegen­heid om deze drie examens eens naast elkaar te leggen en te bespre­ken. Ik heb de examens onder andere bekeken op de punten­verde­ling per domein (algebra­ïsche vaardig­heden, meetkun­de en rekenen, meten en schat­ten) en de punten­verde­ling per 'zwaarte' van de vraag (1-punts­vragen tot en met 4 punts­vragen). De volledi­ge bespre­king van de drie examens is te vinden op www.digita­le-wiskun­de-examens.nl. Domei­nen
Het is bij de wiskun­de-examens voor de basisbe­roepsge­richte leerweg niet vanzelf­spre­kend dat de drie domei­nen uit het Centra­le Examen in gelijke mate aan de orde komen: In twee examens, het schrif­telijke examen en de tweede variant van het digita­le examen, krijgt het domein 'rekenen, meten en schat­ten' (ruim) de helft van het aantal punten. In het schrif­telijk examen bleef voor het domein 'meetkun­de' nog maar 17% van de punten over en in de tweede variant van het digita­le examen was er voor de algebra­ïsche vaardig­heden 20% van de punten beschik­baar. Eenvou­diger
Het lijkt erop dat de digita­le examens tot een toename van eenvou­dige 1-punts­vragen hebben geleid: In de schrif­telijke variant maken de 1-punts­vragen slechts 5% uit van het totaal aantal te behalen punten. Bij de twee varian­ten van de digita­le examens is dat 11% en 15%. Het beeld bij de 4-punts­vragen is minder eendui­dig. Exempla­risch?
Van de dertien varian­ten digita­le BB-examens zijn er twee open­baar gemaakt. De vraag is of deze twee examens ook repre­senta­tief zijn voor de gehele groep van 13 varian­ten. De N-termen varië­ren van 1,1 tot 2,2 en dat indi­ceert duide­lijk dat er relevan­te ver­schil­len bestaan binnen deze groep. Naar mijn mening geeft dat voldoen­de aanlei­ding om aan te dringen op volledi­ge transpa­rantie. Alle digita­le examens moeten open­baar worden gemaakt. Pas dan kan worden vastge­steld of de door mij gecon­stateer­de, inhoude­lijk ver­schil­len tussen de examens uitzon­derin­gen of exempla­risch zijn. Ruud Jonge­ling

In de afgelo­pen week is er op Twitter en op Face­book uitge­breid gedis­cussi­eerd over de vraag of de (wiskun­desec­tie van de) school mag bepalen welk merk grafi­sche rekenma­chine een leer­ling op school moet gebrui­ken. Het staat buiten kijf dat het voorde­len heeft wanneer alle leerlin­gen min of meer dezelf­de grafi­sche rekenma­chine gebrui­ken. Maar over het dwin­gend voor­schrij­ven van een bepaald merk grafi­sche rekenma­chine wordt ver­schil­lend gedacht. Sommi­gen trekken een verge­lijking met een leer­boek of methode en verdedi­gen op die manier deze ver­plich­ting. Anderen maken liever de verge­lijking met andere hulpmid­delen zoals passer of geodrie­hoek en vinden dat er hoog­stens sprake zou mogen zijn van een advies. Het lijkt mij juri­disch voor een school niet haal­baar om op het op het Cen­traal Examen het gebruik van een door het CvTE toege­stane grafi­sche rekenma­chine te verbie­den. Dat het lastig is om te contro­leren of een grafi­sche rekenma­chine van een ander merk in de examen­stand staat, zal door de rechter niet zwaar worden gewogen. Werk­groep
Al dat gedoe rond de grafi­sche rekenma­chine begint binnen het voortge­zet onder­wijs onder­tussen tot een dure en tijdro­vende gordi­aanse knoop te verwor­den. Deze discus­sie bewijst dat maar weer eens. Ik ben be­nieuwd of die knoop in het rapport van de werk­groep "ICT bij het CE wiskun­de havo/vwo" (zie WiskundE-brief 766) einde­lijk een keer zal worden doorge­hakt. gk

In de Face­book groep Leraar Wiskun­de kwam een week op twee geleden de oplei­ding tot wiskun­dedo­cent aan de orde. In hoever­re sluit deze aan bij de beroeps­prak­tijk? Aan welke eisen moet de oplei­ding voldoen of zou deze moeten voldoen? De bijdra­ge van Erik Menzel was interes­sant genoeg om, redacti­oneel bewerkt en inge­kort, hieron­der op te nemen. Over de benodig­de diep­gang van de oplei­ding tot wiskun­dedo­cent wordt veel gedis­cussi­eerd. Ik ben van mening dat een flinke diep­gang noodza­kelijk is om te voorko­men dat de docent in oplei­ding de eigen kennis en erva­ring over­schat. Het klinkt mis­schien wat cliché maar net genoeg is voor docen­ten niet goed genoeg. Persoon­lijk gebruik ik in mijn lessen heel veel van de wiskun­de die ik tijdens mijn oplei­ding ben tegenge­komen. Ik heb het daarbij niet zozeer om de wiskun­dige onderde­len die aan bod zijn gekomen maar veel meer om de intel­lectue­le nieuws­gierig­heid die door de oplei­ding is wakker gemaakt. Tijdens de oplei­ding worden denkpro­cessen ge­traind, wordt een analyti­sche geest en een voor­liefde voor eenvoud ontwik­keld en ont­staat er een intel­lectue­le doorzet­tings­vermo­gen. Al die zaken komen mijn onder­wijs ten goede. Niet even een vakje leren
Ik vind het belang­rijk dat een docent beseft dat wiskun­de niet om uitkom­sten maar om analy­tisch denkver­mogen draait. Om op dat niveau te komen, is het nodig dat je niet even een 'vakje' leert maar daadwer­kelijk met wiskun­de te maken krijgt. Om die reden word ik altijd wild enthou­siast wanneer ik zie dat een student plotse­ling be­grijpt dat com­plexe getal­len en getal­theorie geen disjunc­te vakken zijn. Dat je sommige proble­men op heel ver­schil­lende, al dan niet soepel lopende manie­ren kunt aanpak­ken. De losse wiskun­devak­ken zijn gereed­schap­pen waarmee je je wiskun­dige reper­toire kunt vergro­ten. Het zijn midde­len om wiskun­dige proble­men aan te pakken en om ze te overwin­nen. Of juist niet want 'vastzit­ten' is de basis­toe­stand van een echte wiskun­dige. Dansle­raar
De ontwik­keling die een aanko­mend docent in zijn of haar studie door­maakt, is extreem belang­rijk. Ik verge­lijk het weleens met dansen. In het boekje staan de danspas­jes maar met alleen dat boekje in de hand kun je nog niet dansen. Als docent op het voortge­zet onder­wijs ben je dansle­raar. De danspas­jes staan in de methode maar is het de docent die zijn of haar leerlin­gen moet leren dansen. De docent moet daarom ver boven het niveau van de leerlin­gen staan, niet alleen als het gaat om de wiskun­dige onder­werpen maar ook als het gaat om wiskun­dige ontwik­keling. De docent moet in staat zijn de wiskun­dige ontwik­keling van de leerlin­gen te duiden. Wanneer heeft u voor het laatst de Riemann­hypothe­se in de brug­klas bespro­ken? Erik Menzel

Volgens het CvTE is er met de oudere, onder­tussen verbo­den grafi­sche rekenma­chines gemakke­lijker te fraude­ren, ook al staan deze machi­nes in de examen­stand. Voor wat betreft de TI-84 wil ik daarbij graag nog een extra kantte­kening maken. Wat blijkt name­lijk? Nadat de grafi­sche rekenma­chine al in examen­stand is gezet, kun je toch nog alfanu­merieke gege­vens in de rekenma­chine zetten. Dit geldt zowel voor de oudere, onder­tussen verbo­den machi­nes als voor de nog toege­stane grafi­sche rekenma­chines. De examen­stand zou moeten verhin­deren dat je spiek­brief­jes in je grafi­sche rekenma­chine kunt zetten. Echter, als leerlin­gen hun grafi­sche rekenma­chine thuis alvast in de examen­stand hebben gezet, dan kunnen zij daarna nog steeds aller­lei teksten in hun rekenma­chine opslaan. Dat kunnen zij op deze manier in zoge­naamde 'string­variabe­len' doen: 'Str1' is slechts een van de tien string­variabe­len die te vinden zijn via de knoppen­combina­tie  VARS   7 . String­variabe­len kunnen eenvou­dig weer worden geraad­pleegd: Tijdens het examen blijft het ledlamp­je netjes knippe­ren en de surveil­lant heeft dus niets in de gaten als de leer­ling frau­deert. Remedie
Je kunt dit afkijk­pro­bleem voorko­men door aan het begin van het examen de grafi­sche rekenma­chine opnieuw in de examen­stand te zetten want dan worden de variabe­len weer gewist. Dat werkt ook wanneer de rekenma­chine al in de examen­stand stond. Dat moeten de surveil­lanten dus eigen­lijk vlak voor een examen zelf doen; het is niet voldoen­de om de leerlin­gen thuis de grafi­sche rekenma­chine in de examen­stand te laten zetten en alleen het knippe­rende ledje in de gaten te houden. Dit pro­bleem treedt zowel bij de TI-84 Plus als de TI-84 Plus (CE-)T en is dus geen reden om de oude TI-84 Plus niet op het Cen­traal Examen toe te staan. Coen Huisman, Bonaven­turacol­lege Leiden

SEO Econo­misch Onder­zoek is een onder­zoeksbu­reau dat onafhan­kelijk toege­past onder­zoek uit­voert in op­dracht van over­heid en be­drijfs­leven. Voor Voion (VO In Ontwik­keling) verge­leek SEO onlangs de salaris­sen van docen­ten binnen het voortge­zet onder­wijs met de markt­sector. Uit dat onder­zoek blijkt dat er over het alge­meen niet veel ver­schil­len zijn tussen de hoogte van de salaris­sen binnen en buiten het onder­wijs. Een uitzon­dering betreft de salaris­sen van eerste­graads docen­ten in bètavak­ken. Het bruto uurloon van deze docen­ten lag in 2016 ten opzich­te van de markt­sector name­lijk onge­veer 9% lager. Volg deze link voor het volledi­ge onder­zoeks­rapport.

Wiskun­de en taalkun­de kennen fascine­rende raak­vlakken. De wiskun­de kan ons iets leren over taalui­tingen, aan beide weten­schap­pen liggen logi­sche denkpa­tronen ten grond­slag en natuur­lijk wordt wiskun­de zelf ook gezien als een taal. Dat uit zich ook in de school­program­ma’s, varië­rend van strenge notatie­afspra­ken bij wiskun­de B tot aan taalana­lyses bij wiskun­de C. Om die reden luidt het thema van het winter­symposi­um 2018 van het Konink­lijk Wiskun­dig Genoot­schap 'Wiskun­deTaal'. In het symposi­um belich­ten vier weten­schap­pers elk een van de raak­vlakken tussen wiskun­de en taal. Het symposi­um is bestemd voor docen­ten wiskun­de, van docen­ten in oplei­ding tot ervaren docen­ten. Maar ook voor leerlin­gen en collega’s van andere vakge­bieden kan het symposi­um interes­sant zijn. Alle belang­stellen­den zijn daarom van harte welkom. Voor­drach­ten
U kunt tijdens het symposi­um genie­ten van deze voor­drach­ten:

• Frank Veltman (ILLC, UvA): De taal der vooroor­delen.
• Benno van den Berg (ILLC, UvA): Con­struc­tieve taal.
• Milan Lopuhaä-Zwaken­berg (RU): Waarom zijn wiskun­digen goed in taal?
• Rainer Kaen­ders (Univer­sität Bonn): Over wiskun­dige taalni­veaus en het niveau van wiskun­dige taal.

Het symposi­um wordt gehou­den in het Acade­miege­bouw van de Univer­siteit Utrecht, bij de Dom van Utrecht. Op zater­dag 13 januari 2018 is de zaal open vanaf 10:30 uur. Koffie en thee staan dan klaar. Het program­ma start om 11:00 uur en eindigt om onge­veer 16:00 uur. Volg deze link voor meer informa­tie of om u aan te melden.

Alweer een record! Tijdens de oktober­veiling werden er ruim 500 boeken ver­kocht. De totale op­brengst was maar liefst € 2717,29,=. Maat we hebben natuur­lijk nog flink wat mooie boeken over. Ook hebben we nog heel veel tijd­schrif­ten in de aanbie­ding, vooral veel comple­te jaargan­gen van Pythago­ras. De hoogste tijd dus voor de Winter­verkoop 2017. Op onze website staan alweer onge­veer 400 boeken en tijd­schrif­ten gereed. Ze worden aangebo­den voor vaste lage prijzen. U vindt op de site onder andere veel oude school­boeken en studie­boeken uit binnen- en buiten­land. De Winter­verkoop loopt tot 30 april 2018. Kom deze herfst en winter kijken op de website van het Wereld­wiskun­de Fonds en sla uw slag. De gehele op­brengst wordt zoals gewoon­lijk besteed aan projec­ten ten bate van het wiskun­deonder­wijs in ontwik­kelings­landen. Jos Remijn, veiling­meester WwF
wereld­wiskun­deboe­ken@nvvw.nl

		Het kan! Gediffe­renti­eerd en dyna­misch onder­wijs voor de hele klas Voor een trial, pilot of demon­stratie ga naar vo.snap­pet.org/meer-weten/			Met behulp van uw huidige methode
					Alle opgaven via Snappet (on-line)
					Directe feed­back voor leer­ling en docent

Als lande­lijk kennis­centrum leer­planont­wikke­ling richt SLO zich op de ontwik­keling van het curricu­lum in het primair, speci­aal en voortge­zet onder­wijs in Neder­land. We werken met het onder­wijs­veld aan de doelen, kaders en instru­menten waarmee scholen hun op­dracht vanuit een eigen visie kunnen vervul­len.

zoekt een expert Rekenen-wiskun­de voortge­zet onder­wijs (0,8 fte)

Klik hier voor meer informa­tie over de vacatu­re.

De fx-CG50 is eenvou­dig in gebruik en kan tege­lijk veel meer. De bedie­ning is gelijk aan die van de fx-CG20. Ook de prijs is niet veran­derd. Wat is er nieuw? Bekijk de videos. De fx-CG50 is CvTE goedge­keurd en kan dit examen al ge­bruikt worden. Voor een test­exem­plaar of vrij­blijven­de demon­stratie: educa­tie@casio.nl.

Via de WiskundE-brief laten we u de komende periode kennis­maken met de moge­lijkhe­den van de VO-metho­des van Better­marks. Dit is afleve­ring 1 van 7.

Diffe­rentia­tie Toegang tot het lesmate­riaal van alle leerja­ren en leerni­veaus in de onder­bouw. Binnen één klas wijst u eenvou­dig opgave­series van ver­schil­lende niveaus en leerja­ren toe. Het docen­tendash­board, met inzicht in de vorde­ringen van indivi­duele leerlin­gen, helpt u daarbij. Better­marks biedt dus altijd passen­de oefen­stof, onge­acht het niveau van uw leer­ling.

Ga nu naar www.better­marks.nl voor een gratis demo-account en ervaar Better­marks zelf.