nummer 738, 8 mei 2016

In Wiskun­dE-brief 735 werd gemeld dat tijdens een openba­re zitting van de Tweede Kamer opgaven van de reken­toets 3F uit de eerste periode van 2016 zouden worden bespro­ken. Sinds kort zijn er wat betreft die bespre­king nadere bijzon­derhe­den bekend. Op woens­dag 8 juni 2016 bestu­deert de commis­sie voor Onder­wijs, Cultuur en Weten­schap­pen van de Tweede Kamer een hele dag de reken­toetsop­gaven.'s Morgens kunnen geduren­de twee uur alle onge­veer 400 opgaven voor 3F van 2015 bekeken worden door leden van de commis­sie en uitgeno­digde deskun­digen en docen­ten. De bestude­ring van de reken­toetsop­gaven is beslo­ten. Tijdens de beslo­ten bijeen­komst wordt er een selec­tie gemaakt van opgaven die 's middags tijdens het openba­re gedeel­te van de zitting worden bespro­ken. Politie­ke fout
Inmid­dels heeft een aantal genodig­den laten weten voor de eer te bedan­ken. Jan van de Craats, emeri­tus hoogle­raar wiskun­de en bekend tegen­stander van de reken­toets, formu­leerde zijn reden tot bedan­ken als volgt:

"Mijn stand­punt is dat die reken­toets zo snel moge­lijk van tafel moet. Ik heb dat ook, goed beargu­men­teerd, naar voren ge­bracht tijdens het rondeta­felge­sprek met uw commis­sie op 4 decem­ber 2013, en het daarna bij tal van gelegen­heden ook publie­kelijk her­haald. Het bij wet opnemen van een reken­toets in de eindexa­mens havo en vwo is, naar inmid­dels zonne­klaar geble­ken is, een grote politie­ke fout geweest, die zo snel moge­lijk her­steld moet worden. Een eerste stap in die rich­ting is al gezet door de bewinds­lieden, toen zij beslo­ten dat de reken­toets voor havo voorlo­pig niet zal meetel­len in de zak/slaagre­geling. Volgens een bekende zegswij­ze komt van uitstel afstel, en ik hoop van harte dat dit ook bij de reken­toets zal gebeu­ren. De reken­toets als onder­deel van de eindexa­mens havo en vwo moet verdwij­nen. Mijn, door velen gedeel­de stand­punt is, dat een bij leerlin­gen gecon­sta­teerd tekort aan reken­vaardig­heid in het vo zo snel moge­lijk gerepa­reerd moet worden, dat wil zeggen in de brug­klas, en wel door de wiskun­dedocen­ten tijdens of in aanslui­ting op de wiskun­deles­sen. Natuur­lijk moeten wiskun­dedocen­ten daartoe extra worden gefaci­liteerd."

Zinloze investe­ring
Ook Jan Jimkes, oud-conrec­tor van het St. Bonifa­tiuscol­lege in Utrecht, geeft geen gehoor aan de uitnodi­ging. Jan Jimkes is, net als Jan van de Craats, een bekend bestrij­der van de reken­toets. In zijn ant­woord aan de commis­sie schrijft hij onder andere:

"Ik voel er niets voor om twee dagde­len alleen over de 3F reken­toets te spreken, omdat ik een reken­toets in een examen­jaar hoe dan ook een ver­keerd middel vind om in het vo de reken­vaardig­heids­proble­men op te lossen. Dit stand­punt heb ik de afgelo­pen jaren aan uw commis­sie kenbaar gemaakt in noti­ties en bij mijn inbreng tijdens de hoorzit­ting op 4 dec. 2013. Ik heb daarbij ook aangege­ven hoe het pro­bleem wel zou moeten worden opge­lost: rekenen in de onder­bouw vo met wiskun­de integre­ren, eind onder­bouw afslui­ten met een (schrif­telijke) toets en de reken­vaardig­heid onder­houden bij alle zaak en- bèta vakken in de boven­bouw. Deze oplos­sing wordt ook door de Neder­landse Vereni­ging van Wiskun­delera­ren aanbevo­len. Helaas is er door OCW - bij mijn weten- nog niets met die aanbeve­ling gedaan. Verder tijd en energie investe­ren in de huidige reken­toets vind ik eigen­lijk zinloos."

NVvW doet wel mee
De voorzit­ter van de Neder­landse Vereni­ging van Wiskun­delera­ren, Swier Garst heeft laten weten wél op de uitnodi­ging in te zullen gaan. Hij stelt in zijn reactie naar de commis­sie wel een aanpas­sing van de opzet van de dag voor:

"Ik zou het dan ook op hoge prijs stellen als tijdens het laatste agenda­punt ruimte is voor een ruimere blik op rekenen dan die waarop de huidige toets is geba­seerd. Een en ander schept de moge­lijk­heid resulta­ten te berei­ken die de inzet van een gehele werkdag recht­vaardi­gen."

Het heeft langer gedacht dan ik dacht maar het is zover: er is een volwaar­dig alterna­tief voor de grafi­sche rekenma­chine dat je gewoon als app op je smart­phone kunt gebrui­ken. Mallory Dyer is een 31-jarige docent wiskun­de op het Central Arizona College. In haar lessen merkte ze dat studen­ten niet genoeg geld hadden om een grafi­sche rekenma­chine van onge­veer $100 aan te kunnen schaf­fen. Tege­lijk zag ze dat ieder­een wél een smart­phone had. Dus kreeg ze in septem­ber 2014 het idee om een alterna­tief voor de grafi­sche rekenma­chine te maken dat te gebrui­ken is op smart­phones. In maart 2015 begon Mallory echt met het ontwik­kelen. En nu is de app beschik­baar voor Android. De iOS versie komt in de zomer. De prijs van de app is een paar dollar; ver onder de prijs van een traditi­onele grafi­sche rekenma­chine. Een extra voor­deel van de app is dat je niet telkens die extra "bak­steen" mee hoeft te nemen. Met examen­stand
De app heet Graph­Lock en maakt de smart­phone tot een comple­te weten­schappe­lijke rekenma­chine met de moge­lijk­heid om grafie­ken te tekenen waarop je gewoon lekker met je vingers kan in- en uitzoo­men. Het mooie van deze app is dat er ook is nage­dacht over hét pro­bleem waar scholen mee worste­len als ze tijdens toetsen het gebruik van smart­phones gaan toe­staan. Er zit name­lijk een simpele en effec­tieve examen­stand op de app! Ik zou nu echt niet meer weten waarom scholen nu niet massaal hun leerlin­gen laten over­stappen op deze app. Natuur­lijk, er komen vast nog andere, betere apps. Maar er is nu geen enkele reden meer te beden­ken om nog aan die ouder­wetse grafi­sche rekenma­chine te blijven hangen. Meer info over Graph­Lock (screen­shots, video) kunt u vinden op www.graph­lockapp.com. Graph­lock is via Google Play te downloa­den. Sander Claas­sen

In Wiskun­dE-brief 737 werd een bijeen­komst voor het nabe­spreken van de geheime digita­le examens in het vmbo aange­kondigd. In het artikel werd verwe­zen naar eerder afgeno­men examens op oefenen.facet.onl. In het laatste nummer van Eucli­des be­spreek ik het digita­le examen voor de basisbe­roepsge­richte leerweg dat op deze site staat. Ik werd er niet vrolijk van. Er valt over dit examen heel wat op te merken. Er staan (kleine) onvolko­menhe­den maar ook echte fouten in. Verder wordt de leerlin­gen in het examen regelma­tig beper­kingen opge­legd bij de aanpak. Leerlin­gen zijn in tegen­stel­ling tot het papie­ren examen niet vrij in het kiezen van een oplos­sings­strate­gie. Het is opmerke­lijk dat dit examen geruis­loos is gepas­seerd. Zou het gaan om havo of vwo, dan was dat ondenk­baar geweest. Actie gewenst
Leerlin­gen in de basisbe­roepsge­richte leerweg verdie­nen beter! Dat kan alleen wanneer hun docen­ten zich kri­tisch en actief opstel­len. Mijn artikel in Eucli­des is voor leden van de NVvW hier te lezen. Anderen kunnen de tekst bij mij opvra­gen. Reac­ties zijn welkom, via het forum van de NVvW of direct naar mij. Ruud Jonge­ling
docent wiskun­de vmbo BB/KB
rj.jonge­ling@kpnmail.nl

Neem de kwadra­tische functie f(x) = x², vervorm die met coëffi­ciënt a en ver­plaats deze h stappen horizon­taal en v stappen verti­caal. Je krijgt dan de functie f(x) = a(x − h)² + v. Uit deze basis­vorm is het draai­punt (h, v) van de para­bool direct af te lezen. Ook de nulpun­ten volgen eenvou­dig. Dit is gra­fisch alle­maal direct te tonen. Het boven­staande vormt een veel betere didac­tiek voor kwadra­tische func­ties dan de traditi­onele aanpak die uitgaat van het poly­noom f(x) = ax² + bx + c. Voor het leerpro­ces is deze poly­noom als start­punt irrele­vant en werkt deze juist antidi­dac­tisch. In de vorm f(x) = a(x − h)² + v rekt, krimpt of spie­gelt parame­ter a. Met h > 0 gaat de grafiek naar rechts, met h < 0 naar links. Met v > 0 gaat de grafiek omhoog, met v < 0 omlaag. Ik gebruik verder liever de term "draai­punt" dan "top", want wat is de "top" van een dalpara­bool? Abstrac­tie contra empirie
Wiskun­digen zijn ge­traind tot ab­stract denken terwijl onder­wijs een empiri­sche zaak is. Wanneer je die twee zaken door elkaar haalt, geeft dat in het onder­wijs veel ellende. Dit heb ik met veel voor­beelden toege­licht in mijn boek "Elegan­ce with Substan­ce" (2009, 2015). Onlangs zag ik in dat ook de kwadra­tische functie onder die mis­plaats­te abstrac­tie lijdt. Waar de traditi­onele aanpak van de kwadra­tische functie vandaan komt, mogen histori­ci uitzoe­ken. Is het een residu van vroege ontdek­kingen rond 1500 voor Chris­tus? Of komt het inder­daad voort uit de abstrac­te wiskun­dige theorie rond polyno­men? Voor leerlin­gen is het poly­noom in ieder geval niet inzich­telijk. De "basis­vorm" f(x) = a(x − h)² + v biedt leerlin­gen daaren­tegen meteen een mooi inzicht. Door het kwa­draat uit te werken, kan het poly­noom daarna eenvou­dig worden gevon­den. De parame­ters h en v kunnen dan direct worden uitge­drukt in termen van a, b en c. Met deze rela­ties kunnen anders­om a, b en c weer worden uitge­drukt in a, h en v. Liever inzicht dan reken­trucs
Wanneer facto­ren niet meteen gezien worden, geeft de abc-formule de nulpun­ten van de kwadra­tische poly­noom­vorm en minima­liseert hierbij de reken­stappen. De abc-formule is handig maar het is een didacti­sche inver­sie om het algeme­ne geval vanaf het begin cen­traal te stellen. De focus van het onder­wijs kan beter liggen bij inzicht dan bij zo'n inverse reken­truc. Pas wanneer het inzicht bestaat over wat zo'n para­bool nu is, dan ont­staat de vervolg­stap om bij een gegeven poly­noom de nulpun­ten te vinden en ont­staat de belang­stel­ling voor de abc-formule. Wanneer je binnen het onder­wijs kwadra­tische func­ties snel inzich­telijk kunt maken, ont­staat er ook ruimte voor het behande­len van de com­plexe oplos­singen van kwadra­tische verge­lijkin­gen. Dat is geen gekke gedach­te; kinde­ren zijn bij verant­woorde didac­tiek tot verras­send veel in staat. Pierre van Hiele (1909-2010) stelde bijvoor­beeld voor al op de basis­school met vecto­ren te begin­nen. Prak­tijkstu­dies
Hoe laat je kinde­ren het beste kennis maken met wiskun­de? Hoe bied je leerlin­gen de beste wiskun­dige inzich­ten? Het zijn de leerlin­gen die bepalen wat werkt en dat valt alleen te bepalen met behulp van prak­tijkstu­dies. Daar moeten dan wel midde­len voor vrijge­maakt worden. Daarom pleit ik sinds 2008 voor een parle­mentair onder­zoek met betrek­king tot het wiskun­deonder­wijs. Thomas Coligna­tus
Econome­trist (Gronin­gen 1982) en leraar wiskun­de (Leiden 2008), Scheve­ningen Ik advi­seer u deze links:

• Re-enginee­ring van didac­tiek van kwadra­tische func­ties.
• A long road with a recipe.
• Re-enginee­ring van wortel en complex getal.
• Wansink over com­plexe getal­len, Eucli­des 51e jaar­gang no 4.
• Con­quest of the Plane (2011).
• Mijn brief aan het Natio­naal Regie-orgaan Onder­wijson­derzoek (NRO).
• Mijn advies tot een parle­mentair onder­zoek naar het onder­wijs in wiskun­de.

Hoe krijg je bij een verhui­zing dat bank­stel de hoek om? Of dat bed door het trapgat? Verhui­zers maar ook wiskun­digen houden zich met dit soort proble­men bezig. Vereen­voudigd luidt dit pro­bleem: welke tweedi­mensio­nale meetkun­dige vormen kunnen ver­plaatst worden door een 'platte', één meter brede gang met een rechte hoek? De bepa­ling van de groot­ste vorm die op deze manier om een hoek kan worden gescho­ven, is nog steeds een onopge­lost pro­bleem. In novem­ber 2015 waagden duizen­den middel­bare scholie­ren zich tijdens de Wiskun­de B-dag aan dit pro­bleem. Deze dag wordt al sinds 1999 georga­niseerd door het Freuden­thal Insti­tuut en is een wed­strijd voor scholie­ren­teams uit 5 havo en 5/6 vwo met wiskun­de B in hun profiel. Sofa van Hammers­ley
Op vrijdag 18 maart 2016 werden in het Acade­miege­bouw in Utrecht de tien lande­lijk best preste­rende teams in het zonne­tje gezet. De winnaar was het Lorentz Casimir Lyceum uit Eindho­ven. Volgens de jury lever­den de leerlin­gen van dit lyceum een wiskun­dig correct uitge­werkt en bijzon­der goed toege­licht verslag met humor aan. In een eigen onder­zoek onder­zocht dit team een variant op de bekende sofa van Hammers­ley. Van deze zelf gekozen vorm bereken­den ze het maxima­le formaat dat nog door de gang gescho­ven kan worden. De volgen­de editie van de Wiskun­de B-dag vindt plaats op 18 novem­ber 2016. Kijk voor meer informa­tie op www.uu.nl/onder­wijs/wiskun­de-b-dag.

Bij de Benelux Wiskun­de Olympia­de, die van 29 april tot 1 mei 2016 in Soest werd gehou­den, hebben negen Neder­landse scholie­ren bij elkaar drie zilve­ren en zes bronzen medail­les in de wacht ge­sleept. Met dit aantal versloe­gen de Neder­landse wiskun­detalen­ten de teams van België (6 medail­les) en Luxem­burg (geen medail­les). De Benelux Wiskun­de Olympia­de is een jaar­lijkse wiskun­dewed­strijd voor middel­bare scholie­ren uit België, Luxem­burg en Neder­land. Elk team bestaat uit tien leerlin­gen. Het Neder­landse team is via vier voorron­des geselec­teerd uit ruim 10.000 deelne­mers. De wed­strijd bestaat uit vier uitda­gende wiskun­deopga­ven waar de deelne­mers vier en een half uur de tijd voor hebben. De beste helft van de deelne­mers krijgt een medail­le, brons, zilver of goud. De meeste punten
Neder­land won niet alleen de meeste medail­les maar behaal­de ook de hoogste totaal­score: 176 punten. Daarmee bleef het team België (160 punten) nipt voor. Luxem­burg eindig­de met 21 punten als laatste in het landen­klasse­ment. Dit zijn de indivi­duele resulta­ten:

medail­le	punten	winnaar	klas	school
zilver	24	Levi van de Pol	3 vwo	Ichthus College Veenen­daal
zilver	23	Pim Spelier	6 vwo	Christe­lijk Gymnasi­um Sorgh­vliet Den Haag
zilver	21	Reinier Schmier­mann	5 vwo	Stede­lijk Gymnasi­um ‘s-Herto­gen­bosch
brons	19	Ludo Dekker	5 vwo	Johan de Witt Gymnasi­um Dord­recht
brons	19	Michiel Versnel	6 vwo	Goois Lyceum Bussum
brons	18	Siebe Verheij­en	5 vwo	Marti­nuscol­lege Groote­broek
brons	15	Gabriel Visser	5 vwo	Stede­lijk Gymnasi­um Schie­dam
brons	14	Wietze Koops	5 vwo	RSG Stad & Esch Lyceum Meppel
brons	14	Mat­thijs van der Poel	3 vwo	Christe­lijk Gymnasi­um Utrecht
-	9	Erik van Cappel­len	5 vwo	Johan­nes Fonta­nus College Barne­veld

Het Neder­landse team werd bege­leid door Birgit van Dalen (Univer­siteit Leiden en Aloysi­us College Den Haag), Jeroen Huijben (Univer­siteit Utrecht) en Jetze Zoet­hout (Univer­siteit Utrecht). De Wiskun­de Olympia­de wordt georga­niseerd in samen­werking met de Techni­sche Univer­siteit Eindho­ven, Univer­siteit Leiden, Trans­trend en ORTEC en wordt mede moge­lijk gemaakt door het Ministe­rie van OCW, Cen­traal Bureau voor de Statis­tiek, Composi­tio, Noord­hoff Uitge­vers, ASML, Cito, Freuden­thal Insti­tuut, Insti­tuut Archime­des van de Hoge­school Utrecht en de Neder­landse Vereni­ging van Wiskun­delera­ren.

De STEM Teacher Academy en NWO Exacte Weten­schap­pen hebben opnieuw een call geopend voor eerste­graads wiskun­delera­ren. Via dit program­ma worden wiskun­delera­ren in de gelegen­heid gesteld om een aantal maanden weten­schappe­lijk onder­zoek aan een univer­siteit te doen. Hier­door nemen zij nader kennis van een weten­schappe­lijke manier van werken en ontwik­kelen hun eigen onder­zoeks­vaardig­heden. Met die erva­ring kunnen zij ook hun leerlin­gen beter enthou­siasme­ren voor een studie wiskun­de of ander bètavak. Volg deze link voor meer informa­tie.

Ik zou graag in contact komen met leraren die deze zomer het Interna­tionale Con­gress on Mathema­tical Educati­on (ICME) in Hamburg gaan bezoe­ken. Mijn oproep is in de eerste plaats bedoeld voor mensen die, net als ik, vooral belang­stel­ling hebben vanuit hun hoeda­nigheid als wiskun­dele­raar. Maar van mensen die meer een onder­zoeks­achter­grond hebben, stel ik de reactie natuur­lijk ook zeer op prijs. Een korte e-mail naar mij vol­staat. Wim van de Hulst (wgvdh@xs4all.nl)

Voor het komend school­jaar is het Vliet­land College op zoek naar een nieuwe eerste­graads collega wiskun­de. Aanlei­ding voor deze vacatu­re is het berei­ken van de pensi­oenge­rechtig­de leef­tijd van één van onze collega’s. Het betreft ca. 16 lessen (0,5 − 0,6 fte) in met name de boven­bouw havo met uit­zicht op een vast dienst­verband. Geïnte­res­seerd? www.vliet­landcol­lege.nl/Vacatu­res.

Het Praedi­nius is een catego­raal open­baar gymnasi­um met een Techna­sium afde­ling. Voor het komende school­jaar zijn we op zoek naar eerste­graads wiskun­decolle­ga's (1,5 fte). Lees voor meer informa­tie de vacatu­re op de website. Reac­ties graag voor 16 mei.

De Haagse Hoge­school is met ingang van school­jaar 2016-2017 op zoek naar een docent wiskun­de (0,8 − 1,0 fte) voor de oplei­ding Toege­paste Wiskun­de. Klik hier voor meer informa­tie.

Wagenin­gen Univer­siteit zoekt een enthou­siaste partti­me wiskun­dedo­cent voor 24 uur per week. Kijk op onze site voor meer informa­tie over de baan en over ons en op onze vacatu­resite de sollici­tatie­procedu­re.

Er zijn nog veel vragen omtrent Reset en Examen­stand. Wij hebben voor u alles op één pagina op een rijtje gezet: www.casio-educa­tie.nl/examen­stand/ De volgen­de zaken komen aan de orde: Wanneer Reset of Examen­stand voor havo en vwo? U vindt een helder schema van de fase­ring en uitleg over de procedu­res. Wat doe ik met 'oude' Casio model­len? Via een softwa­re update kunnen bijna alle bestaan­de model­len worden voor­zien van examen­stand. Down­load de update via bovenge­noemde website. Eén contro­le bij het examen is genoeg! Kijk zelf hoe eenvou­dig het is: www.casio-educa­tie.nl/casio­college/.

Momen­teel zijn we druk bezig met de ontwik­keling van de nieuwe (12^e) editie van Getal & Ruimte voor de onder­bouw havo/vwo. Het lesmate­riaal in deze nieuwe editie bevat meer nieuwe en eigen­tijdse contex­ten en er kan volle­dig digi­taal gewerkt worden. In het najaar van 2016 zullen de eerste leerboe­ken als beoorde­lingsma­teriaal beschik­baar komen. Het digita­le materi­aal zal gedeel­telijk adap­tief zijn met veel oefenma­teriaal en dash­boards voor leer­ling en docent. Wilt u komend school­jaar alvast kennis­maken met een hoofd­stuk van het nieuwe digita­le materi­aal? Meldt u dan aan bij Judith Boert­jens via j.boert­jens@noord­hoff.nl of via Face­book (face­book.com/getalen­ruimte) of Twitter (twitter.com/getal_en_ruimte).

Verande­ringen in de examen­eisen beteke­nen verande­ring van (grafi­sche) rekenma­chine. Waarom dan niet meteen voor de beste machine kiezen? Als docent kunt u de nieuwe grafi­sche rekenma­chine van HP nu koste­loos testen. Neem contact op met p.scha­dron@hp-prime.nl voor meer informa­tie en ontvang een HP Prime voor u en/of de sectie. Zeer snelle, nieuwe proces­sor. Een touch­screen met kleur en hoge resolu­tie. Het is tenslot­te 2016. Door het CvTE goedge­keurde examen­modus. Volledi­ge support van Noord­hoff voor G&R en MW online beschik­baar. Neem ook eens een kijkje op www.hp-prime.nl voor veel meer informa­tie over de HP Prime rekenma­chine en voor Neder­lands lesmate­riaal.

Op maandag 13 juni 2016 organi­seert Onder­wijsvan­morgen.nl haar eerste Live Event voor docen­ten wiskun­de havo/vwo onder­bouw en boven­bouw en vmbo-t onder­bouw. Cen­traal staat deze middag het thema: wiskun­de van vandaag én morgen. Er veran­dert veel in het wiskun­deonder­wijs: nieuwe examen­program­ma's, digita­lise­ring, innova­tieve toepas­singen en verande­rende wiskun­dedidac­tiek. Het comple­te program­ma inclu­sief voor­waarden kunt u opvra­gen via vo-bijeen­komsten@malm­berg.nl. Schrijf u nu in!