nummer 629, 24 maart 2013

Bij het algebra­ïsch of exact oplos­sen van onge­lijkhe­den leren wij onze leerlin­gen om de snijpun­ten algebra­ïsch of exact uit te rekenen, waarna de oplos­sing van de onge­lijk­heid bepaald kan worden vanuit een schets van de grafie­ken. Hetzelf­de kan gezegd worden over het algebra­ïsch of exact bepalen van een maximum of minimum van een functie, zeker als het gelijk­stellen van de afgelei­de functie aan nul meerde­re oplos­singen ople­vert. Het is inmid­dels gebrui­kelijk om deze schets door de GR te laten plotten. Ton Lecluse spreekt in wiskun­dE-brief 628 zijn zorgen uit omdat de ver­nieuwde nomen­clatuur bepaalt dat bij algebra­ïsche of exacte bereke­ningen de grafi­sche moge­lijkhe­den van de GR niet meer ge­bruikt mogen worden. Ik deel deze zorgen niet. Er wordt name­lijk nooit voorge­schre­ven, op welke manier een leer­ling een schets maakt. Ik heb rela­tief niet heel veel erva­ring met eindexa­menklas­sen (3 jaar havo 5 wiskun­de B) maar ik ben tot nu toe op examens weinig opgaven tegenge­komen waarbij de grafie­ken niet reeds als afbeel­ding bij de opgave zijn gegeven. Bij opgaven waar dit niet het geval is, bijvoor­beeld bij opgave 2 van het examen wiskun­de B1 vwo 2007-I, kan voor de conclu­sie dat de hoogte tussen (en niet buiten) de twee gevon­den oplos­singen ligt, slechts één punt ge­scoord worden. Een extra toelich­ting lijkt ook hier dus niet per se noodza­kelijk. Geen voor­beelden te vinden
Boven­dien, als een leer­ling bij wijze van toelich­ting toch een schets van de grafie­ken maakt, zou het best kunnen dat hij dat doet op basis van inzicht in het gedrag van func­ties. Zou daar dan nog eens een éxtra toelich­ting bij moeten, bijvoor­beeld een toelich­ting over de gebruik­te trans­forma­ties of een tabel met waarden, die dan weer mét als zonder GR gevon­den kunnen worden? Ik kan in de examens van de voor­bije jaren geen voor­beeld vinden waarbij dit fout kan gaan. Als iemand dat wel kan, dan moeten we ons uiter­aard weer verder bezin­nen. Voorals­nog lijkt het wat voorba­rig om te stellen dat de metho­des her­schre­ven moeten worden. Enige oplet­tend­heid bij het samen­stellen van het correc­tievoor­schrift lijkt me voorals­nog voldoen­de. Eelco Fabery de Jonge, Dalton Den Haag.

Ik denk dat het pro­bleem rond het oplos­sen van onge­lijkhe­den niet zo groot zal zijn als in wiskun­dE-brief 628 door Ton Lecluse werd veron­der­steld. In de eindter­men vwo Wiskun­de B staat onder Subdo­mein Bg2: Func­ties, grafie­ken, verge­lijkin­gen en onge­lijkhe­den name­lijk nog steeds: 'De kandi­daat kan ... verge­lijkin­gen en onge­lijkhe­den oplos­sen met behulp van numerie­ke, grafi­sche en algebra­ïsche metho­den.'. In specifi­catie 7.9 is de grafi­sche methode nog eens apart vermeld. Daarbij heb ik het idee dat in de examens het schet­sen van de grafie­ken nooit nodig is omdat de grafie­ken al afge­drukt staan in de opgave. In het laatste wiskun­de B examen vwo hoefden zelfs de benodig­de snijpun­ten niet eens exact of algebra­ïsch te worden uitgere­kend. Ik geloof niet dat er in niet trivia­le geval­len ooit naar het algebra­ïsch of exact oplos­sen van een onge­lijk­heid zal worden ge­vraagd. Tegen­spraak
Het CvE zou met zich­zelf in tegen­spraak zijn wanneer de sylla­bus 2014 ener­zijds beweert dat onge­lijkhe­den gra­fisch opge­lost mogen worden terwijl ander­zijds bij een exacte of algebra­ïsche oplos­sing van een onge­lijk­heid de GR niet mag worden ingezet. Een verwij­zing naar het aloude teken­schema kan het CvE volgens mij niet verdedi­gen want dat begrip staat nergens in de eindter­men. Het CvE kan zich hooguit beroe­pen op subdo­mein Bg1: Stan­daard­func­ties waarin in 6.1 en 6.2 gespeci­ficeerd staat dat een kandi­daat grafie­ken van een aantal (stan­daard-)func­ties kan tekenen en herken­nen. Maar dat zou het onge­lijkhe­den-reper­toire dan wel behoor­lijk beper­ken. Erik Korthof

Met interes­se heb ik de discus­sie over het gebruik van de grafi­sche rekenma­chine tijdens examens in Neder­land gevolgd. Mis­schien is het informa­tief om ook eens te weten hoe het één en ander in België in zijn werk gaat. In België toetsen we het oplos­sen van onge­lijkhe­den zowel mét als zónder grafi­sche rekenma­chine. Dat doen we door een examen van twee uur af te nemen met gebruik van de GR en een examen van twee uur af te nemen zónder rekenma­chine, geen GR maar ook geen eenvou­dige rekenma­chine. Een andere methode die wij veel gebrui­ken, is om in de opgave expli­ciet te vermel­den dat een teken­schema moet worden gegeven, ook al maken ze gebruik van een grafi­sche rekenma­chine. Jürgen Sche­pers wiskun­dedo­cent in België

De nieuwe nomen­clatuur voor de Centra­le Examens wiskun­de havo/vwo (zie de syllabi wiskun­de 2014 op www.examen­blad.nl) heeft niet tot gevolg dat onge­lijkhe­den uitslui­tend met een tekenon­derzoek dienen te worden opge­lost. Onder ‘exact oplos­sen’ wordt in het geval van onge­lijkhe­den ver­staan dat de overeen­komsti­ge verge­lijking exact wordt opge­lost, waarna de oplos­sing van de onge­lijk­heid naar keuze kan worden bepaald met een schets van de grafiek op de grafi­sche rekenma­chine, een tekenon­derzoek of een andere verge­lijkba­re methode. Ten opzich­te van de heersen­de prak­tijk wordt dus geen verande­ring voorge­steld. Het boven­staande werd in een officië­le reactie van het CvE naar de redac­tie van de wiskun­dE-brief meege­deeld. De discus­sie lijkt ons hiermee geslo­ten. red.

Dit plaatje bete­kent dat:

1. het 4 ^oC is in Rotter­dam.
2. het 4 graden vriest in Rotter­dam.
3. het in Rotter­dam 4 graden kouder is dan in Utrecht.
4. het in Rotter­dam 4 graden kouder is dan giste­ren.

“Dit was geen reken­toets”, zeiden mijn leerlin­gen van VWO klas 5 tegen mij. “Veel vragen hadden niets met rekenen te maken. Het was een concen­tratie­test, een uitput­tings­slag, een test rekenma­chinege­bruik van zeer laag niveau, samenge­steld door mensen die niet kunnen rekenen. Wij zijn te slim voor deze toets”. Irri­tant rekenma­chien­tje
De voor­beelden die ik hoor, zijn schok­kend. De vragen van de digita­le reken­toets vwo waren onduide­lijk en de informa­tie was niet com­pleet. Er stonden vage plaat­jes in. De toets stond vol flauwig­heden. In een vraag moest er worden klok gekeken (!) terwijl het onduide­lijk was of de klok in spiegel­beeld stond. Tachtig procent van de vragen mocht met een rekenma­chine worden opge­lost. Het rekenma­chien­tje was een irri­tant digi­taal ding. Een leer­ling had paar keer een 1 in plaats van een komma inge­voerd omdat deze vlak boven elkaar stonden. Als het benodig­de machien­tje tenmin­ste in beeld kwam want dat was niet bij alle leerlin­gen het geval. Elk ant­woord moest precies in de juiste vorm (afge­rond of niet, en hoe afge­rond?) worden gegeven. Maar welke vorm dat dan was, was soms onduide­lijk. Terug­blade­ren naar een vorige vraag kon niet. Quiz
De reken­toets deugt van geen kant. Dat zegt klas 5F. Maar ik kan het niet checken en ik kan het u niet laten zien. Boven­staande toets­vraag heb ik gerecon­stru­eerd aan de hand van het monde­linge verslag van mijn leerlin­gen. De vragen van het Cito zijn immers geheim. Scholen moeten hun Cito-resulta­ten binnen­kort open­baar moeten maken maar het Cito zélf mag zijn toetsen geheim houden. Het is mij een raadsel hoe een pilot van een toets geëvalu­eerd kan worden wanneer tegelij­kertijd de toets­vragen geheim moeten blijven. Dit terwijl een leer­ling binnen­kort kan zakken vanwege deze “quiz”. Mensen, dit laten we toch niet gebeu­ren? Karin den Heijer, lerares wiskun­de

De afgelo­pen weken is er door scholen massaal deelge­nomen aan de pilot reken­toets. In de tweede week van april komen de uitsla­gen in de vorm van cijfers beschik­baar. Op basis van een zeer beperkt aantal gege­vens wil ik u graag een paar mogelij­ke conclu­sies voorleg­gen met betrek­king tot de 3F toets. Ik ben be­nieuwd in hoever­re onder­staande door u wordt herkend:

• Het resul­taat op de reken­toets 3F hangt sterk samen met dat wat je 'het wiskun­deni­veau' zou kunnen noemen. De volgor­de, van hoog naar laag, is: vwo wiskun­de B, vwo wiskun­de A, havo wiskun­de B, havo wiskun­de A en havo zonder wiskun­de. Moge­lijk samen­hangend hiermee zijn er grote ver­schil­len tussen jongens en meisjes.
• De gemid­delde scores van verge­lijkba­re groepen op de diverse versies van de reken­toets lopen erg uiteen, tot zelfs zo’n 9 punten.
• De toets is niet zo eenvou­dig train­baar. Zwakke leerlin­gen die hard oefenen met materi­aal geba­seerd op voor­beeld toetsen, halen vaak toch een zeer lage score.

Hope­lijk worden er door het Cito de nodige analy­ses uitge­voerd en open­baar gemaakt. Maar het kan geen kwaad om al vast eens wat ervarin­gen uit te wisse­len. Ik nodig u daartoe uit. gk

Op 2 april 2013 organi­seert het College voor Examens een bijeen­komst over de syllabi van de nieuwe examen­program­ma’s wiskun­de B voor havo en vwo. De bijeen­komst vindt vanaf 18:00 uur plaats in Cursus- en verga­dercen­trum Domstad te Utrecht. U kunt zich voor deze bijeen­komst tot en met donder­dag 28 maart 2013 aanmel­den via info@cve.nl onder vermel­ding van ‘Bijeen­komst concept­syllabi wiskun­de B’ en uw naam en functie. Digita­le enquête
Naast deze bijeen­komst wordt het onder­wijs­veld geraad­pleegd over de syllabi wiskun­de B (h/v) door middel van een digita­le enquête. U kunt de digita­le enquête invul­len tot en met de slui­tingsda­tum van 14 april 2013. Meer informa­tie vindt u via deze link. Aart Gieske, Project­medewer­ker havo/vwo CvE.

Het bestuur van de NVvW heeft op verzoek van de staats­secreta­ris op 14 februa­ri 2013 een reactie naar OCW ge­stuurd met betrek­king tot het eindrap­port cTWO. De door cTWO ontwik­kelde program­ma’s worden in deze reactie over het alge­meen posi­tief gewaar­deerd en alle conclu­sies en aanbeve­lingen worden in meerder­heid onder­schre­ven. De vernieu­wings­commis­sie heeft de proble­men die er op het havo en vwo zijn met de ver­schil­lende wiskun­depro­gramma’s, volgens de NVvW helder in kaart ge­bracht. De NVvW onder­steunt het plei­dooi voor het tot stand laten komen van twee stevige vakken, te weten een wiskun­de A voor de M-profie­len en een wiskun­de B voor de N-profie­len. Zorgen
In de reactie van de NVvW worden wel wat zorgen geuit over de positie van wiskun­de C en D. Wiskun­de D wordt niet op alle scholen aangebo­den en de groepen zijn vaak klein. Wiskun­de C wordt vaak bij wiskun­de A onderge­bracht omdat de groeps­grootte ook bij wiskun­de C meestal erg klein is. In de reactie wordt ook nog­maals bena­drukt dat de NVvW geen voor­stander is van het vak wiskun­de C op het havo. De volledi­ge reactie van de NVvW kunt u hier lezen.

Geduren­de drie donder­dagmid­dagen in 2013 april organi­seert de oplei­ding Techni­sche Wiskun­de van de Techni­sche Univer­siteit Delft voor de veer­tiende keer de succes­volle cursus Wiskun­de Actief. De cursus in april gaat over het getal pi. Er is geen getal waar meer en langer over is nage­dacht dan het getal pi. Vrijwel ieder­een associ­eert het getal met een cirkel. Sommige mensen denken dat pi gelijk is aan 22/7, anderen roepen dat pi gelijk is aan 3,14 en een enke­ling weet te vertel­len dat pi onge­veer gelijk is aan 3,141592653589793. PI: een wereld­record
In vele opzich­ten draagt pi wereld­records met zich mee. Het is het enige actuele getal waar al meer dan 5000 jaar over wordt nage­dacht. Het is de enige “niet-breuk” die bij vrijwel ieder­een bekend is. Het is het enige getal waarvan nog steeds méér decima­len gezocht worden, onder andere om de reken­kracht van nieuwe compu­ters te testen. Het record van oktober 2011 staat overi­gens op 10.000.000.000.050 cijfers. Wij laten de leerlin­gen aan de hand van de geschie­denis zien hoe je tot al die decima­len kunt komen en welke proble­men daarbij overwon­nen moeten worden. Cursus
De cursus is bestemd voor leerlin­gen uit 4, 5 en 6 vwo met de profie­len NG of NT. Ook docen­ten zijn zeer welkom. Deelna­me is gratis. De midda­gen van 11, 18 en 25 april 2013 worden inclu­sief koffie, thee en fris aangebo­den door de Facul­teit EWI (Elektro­tech­niek, Wiskun­de en Informa­tica). Certifi­caat
Wij willen met deze cursus scholie­ren en docen­ten in contact brengen met een prak­tisch onder­werp uit de wiskun­de. Bij geble­ken inzet ont­vangt de leer­ling ter afslui­ting van de cursus een certifi­caat. Ook kan deze cursus als basis dienen voor een profiel­werk­stuk. Voor leerlin­gen die dit inder­daad willen doen, zijn wij bereid enige tijd te reserve­ren voor begelei­ding en onder­steu­ning. Aanmel­den
Aanmel­den voor deze cursus is moge­lijk tot woens­dag 10 april 2013. Ga voor meer informa­tie of voor aanmel­den naar www.tudelft.nl/wiskun­deac­tief. Voor vragen kunt u terecht bij Trudy Midden­dorp via tele­foonnum­mer 015-2786981, of via emaila­dres voor­lich­ting-ewi@tudelft.nl. Wij vertrou­wen er op dat u deze cursus bij uw leerlin­gen wilt aanbeve­len. Joost de Groot en Emiel van Elderen, docen­ten wiskun­de.

Na enkele jaren van scho­ning en inventa­rise­ring zal het archief van vier strek­kende meter van Wimecos/NVvW feeste­lijk worden overge­dragen aan het Noord Hol­lands Archief in Haarlem. Hiermee wordt een periode van 80 jaar aan wiskun­deonder­wijs, te weten de periode van 1925 tot 2005, toegan­kelijk gemaakt voor onder­zoekers en belang­stellen­den. De inventa­risatie is met engelen­geduld uitge­voerd door Harm Jan Smid. De NVvW is hier dan ook bijzon­der blij mee. Op 27 april om 11:00 uur zal in de Jans­kerk aan de Jans­straat 40 te Haarlem, het pu­blieks­centrum van het Noord-Hol­lands Archief, de over­dracht feeste­lijk worden inge­luid met een drietal lezin­gen. Deze lezin­gen zullen de rol van het archief en van beroeps­vereni­gingen van ver­schil­lende kanten belich­ten. Aanslui­tend zal de over­dracht offici­eel worden beklon­ken door Marjan Kollen­veld, voorzit­ter van de NVvW, en Lieuwe Zoodsma, direc­teur van het Noord-Hol­lands Archief. Rond 12:00 uur worden de feeste­lijkhe­den afgeslo­ten met een drankje. Aanmel­ding
U kunt zich koste­loos aanmel­den voor deze feeste­lijke gebeur­tenis via een email naar secreta­riaat@noord-hol­landsar­chief.nl. Geef in uw email als onder­werp "aanmel­ding 27 april" en vermeld uw naam, adres, tele­foonnum­mer en beroep of aard van uw interes­se (bijvoor­beeld docent, journa­list of histori­cus). In verband met de voorbe­reiding is het noodza­kelijk dat u zich vóór 13 april opgeeft. Ga voor meer informa­tie naar de site van de NVvW of stuur een email met uw vragen naar christi­aan.boudri@han.nl. Christi­aan Boudri

De cursus Hoe kijk je een examen na gaat defini­tief door. Uit inventa­risatie van de vooraan­meldin­gen blijkt dat er belang­stel­ling genoeg is. De cursus wordt georga­niseerd door de NVvW en zal in Eindho­ven, Amster­dam en Veenen­daal worden gegeven. De doel­groep van deze cursus bestaat vooral uit docen­ten havo en vwo. U kunt zich voor deze cursus opgeven door een email te sturen naar a.b.vande­roest@gmail.com. Doe dat ook wanneer u uw interes­se al bij de vooraan­melding kenbaar gemaakt heeft. Voor leden is de cursus gratis; niet-leden betalen €20,00. Kijk voor meer informa­tie op de site van de NVvW. Ab van der Roest

De Norske Videns­kaps-Akademi heft de Abel­prijs 2013 toege­kend aan Pierre Deligne van het Insti­tute for Advan­ced Study, Prince­ton, New Jersey, USA. Pierre, Belg van geboor­te, ont­vangt deze prijs voor zijn "vrucht­bare bijdra­ge aan de algebra­ïsche meetkun­de" en voor zijn "hervor­mende invloed op de getal­lentheo­rie, repre­senta­tietheo­rie en aangren­zende gebie­den". De presi­dent van de Norske Videns­kaps-Akademi, Kirsti Strøm Bull, heeft de toeken­ning op 20 maart 2013 bekend gemaakt. Deligne zal zijn prijs ontvan­gen van koning Harald van Noorwe­gen tijdens een ceremo­nie in Oslo op 21 mei 2013. De Abel­prijs wordt sinds 2003 jaar­lijks toege­kend aan mensen die diep­gaand hebben bijge­dragen aan de wiskun­de als weten­schap. Er is een prijs van onge­veer €800.000,= mee gemoeid.

Dr. Christi­aan Boudri, voorzit­ter van de NVvW werk­groep HBO, heeft het boek "Con­quest of the Plane" van Thomas Cool bestu­deerd en komt tot een posi­tief oordeel. Hij is al de derde recen­sent die posi­tief over dit boek oor­deelt, na Richard Gill (Leiden, KNAW) en Jose Manuel Gamboa (Univer­siteit Madrid en Europe­an Mathema­tical Society). Deze positie­ve gelui­den zijn op zijn minst opmerke­lijk te noemen, want in eerdere instan­tie is dit boek, en in algeme­nere zin het werk, van Thomas Cool, door mensen als dr. Jeroen Spandaw (TU Delft) en Ger Limpens (Cito) zeer kri­tisch bena­derd en soms zelfs regel­recht afge­kraakt. Authen­tiek en oor­spronke­lijk
Boudri schrijft in zijn recen­sie: "En toen gebeur­de iets wat ik niet had ver­wacht. Want toen ik eenmaal echt aan het lezen kwam ... werd de indruk steeds sterker, dat hier iemand aan het woord was die op authen­tieke, oor­spronke­lijke wijze, en met filoso­fische diep­gang, de opbouw van de wiskun­de en de didac­tiek ervan vorm gaf. Soms zinnig, soms twijfel­achtig ver­gaand, maar steeds weer nieuwe perspec­tieven openend op platge­treden paden." De volledi­ge recen­sie van dr. Christi­aan Boudri kunt u lezen door deze link te volgen. Het boek zélf kunt u hier bestel­len.

Lyceum Ypen­burg in Den Haag zoekt vanaf school­jaar 2013-2014 een docent wiskun­de, 1e graad, 1 fte. Meer informa­tie: www.lyceumy­penburg.nl.

Het Gymnasi­um Celea­num in Zwolle zoekt per 1 augus­tus 2013 een eerste/tweede­graads docent wiskun­de (0.8 – 1 fte). Inlich­tingen bij de rector, mevrouw drs. C.J. Japenga, tel. 06 4115 7942. Reac­ties gaarne mailen naar cjjapenga@celea­num.nl.

Woens­dag 10 april 2013 (middag en avond) organi­seert Fontys Leraren­oplei­ding Tilburg een program­ma met lezin­gen en work­shops voor ieder­een die in wiskun­de is geinte­res­seerd. Informa­tie en aanmel­den: fontys.nl/fontys­wiskun­de-event­2013/.

Ervaren wiskun­dedocen­ten geven in de meiva­kantie examen­trainin­gen. Zij worden daarbij geassis­teerd door oud-leerlin­gen die de afgelo­pen jaren met mooie cijfers voor wiskun­de ge­slaagd zijn. Voor meer informa­tie: www.mathema­ticus.nl.