nummer 821, 16 septem­ber 2018

Deze week kregen wij een medede­ling van het confe­rentie­centrum "de Leeuwen­horst" in Noord­wijker­hout dat zij vanwege een interne verbou­wing 200 kamers minder ter beschik­king hebben tijdens de komende Nationa­le Wiskun­de Dagen. Daarom hebben wij onze confe­rentie ver­plaatst naar De Konings­hof in Veldho­ven (nabij Eindho­ven). Wij vinden het heel belang­rijk dat onze deelne­mers tijdens de confe­rentie ten volle kunnen genie­ten van de work­shops, de lezin­gen en alle andere activi­teiten. Het is daarom niet wense­lijk dat de slaapac­comoda­ties ver verwij­derd zijn van de locatie van de confe­rentie. Wij hebben om die reden beslo­ten om de gehele confe­rentie te ver­plaat­sen naar De Konings­hof in Veldho­ven, nabij Eindho­ven. Leiden en Eindho­ven opgelet
De in­schrij­ving voor de NWD loopt van 19 tot 26 septem­ber 2018. Dat is al snel en zeker voor deelne­mers uit de regio Leiden of Eindho­ven kan de verhui­zing van de confe­rentie van belang zijn voor het al dan niet boeken van een over­nach­ting tijdens het in­schrij­ven. Vandaar dat wij de verhui­zing van de NWD nu reeds in de WiskundE-brief melden. In­schrij­ven
U kunt zich uitslui­tend in­schrij­ven via de website voor de NWD. Daar vindt u ook nadere informa­tie over de Nationa­le Wiskun­de Dagen. Als dat nodig is, vindt er achter­af een loting plaats onder de aanmel­ders. Maar wees gerust; het tijd­stip van in­schrij­ving is geen criteri­um voor de loting. Wordt er niet geloot of wordt u voor deelna­me inge­loot, dan ont­vangt u uiter­lijk op 8 oktober 2018 een link voor de beta­ling, die u uitslui­tend via iDeal kunt verrich­ten. Joke Daemen

Bij examen­resulta­ten is er, ook in de WiskundE-brief, meestal slechts aan­dacht voor gemid­delden. Vaak wordt ervan uitge­gaan dat dat de verde­ling van de cijfers of scores bij benade­ring normaal is. Dat blijkt echter niet altijd het geval te zijn. Als je de verde­ling van de resulta­ten van een bepaald examen wilt onder­zoeken, dan kun je het beste naar de scoreverde­ling en niet naar de cijferverde­ling kijken. Als je de cijferverde­ling in beeld pro­beert te brengen, dan brengt een variant van het zoge­naamde duiven­tilprin­cipe je in de proble­men. Omdat een score, die altijd lager ligt dan 90 punten, over 91 mogelij­ke cijfers (van 1,0 tot 10,0) moet worden ver­deeld, blijven er bij de cijfer­toeken­ning name­lijk altijd cijfers onge­bruikt. Een tweede reden waarom je bij het bestude­ren van de verde­ling van de resulta­ten niet naar cijfers maar naar scores moet kijken, is de versto­rende werking van de N-term. Daarom baseer ik mij in het onder­staande op de verde­ling van de scores, en wel zoals deze door examina­toren na de eerste correc­tie van het examen­werk van het eerste tijdvak via WOLF naar het Cito zijn verzon­den. Niet vanzelf­spre­kend normaal
Dat de scores van een Cen­traal Examen bij benade­ring normaal of binomi­aal ver­deeld zijn, is niet vanzelf­spre­kend en in sommige geval­len zelfs onmoge­lijk. We hebben door­gaans niet te maken met een vaste kans op een goed ant­woord maar met meerde­re kansen. Een veel gebruik­te verde­ling bij analy­ses van toetsre­sulta­ten is daarom de beta-binomia­le verde­ling. Voor meer informa­tie over beta-binomia­le verde­lings­vormen verwijs ik u graag naar Wikipe­dia of naar deze link.

In de prak­tijk van het Cen­traal Examen blijken de werke­lijke score­verde­ling, de beta-binomia­le verde­ling en de normale verde­ling vaak aardig overeen te komen. Kijk in het plaatje rechts bijvoor­beeld maar eens naar de score­verde­ling van het Cen­traal Examen havo wiskun­de A van 2018. Deze score­verde­ling bena­dert de normale verde­ling aardig, in het midden zelfs nog wat beter dan de beta-binomia­le verde­ling. Ook voor het vwo-examen wiskun­de A van 2018 geldt dat de verde­ling van de scores rede­lijk normaal is. Soms, zoals bij het wiskun­de-examen vmbo GT 2018, is de overeen­komst van de scores met de normale verde­ling over het geheel zelfs beter dan de overeen­komst van de scores met de beta-binomia­le verde­ling. Het omge­keerde komt natuur­lijk ook voor.

Bijzon­dere verde­ling

Als de gemid­delde score minder dan onge­veer twee stan­daardaf­wijkin­gen onder de maxima­le score ligt, dan is een benade­ring met een normale verde­ling niet moge­lijk omdat het rechter deel van de verde­lings­kromme dan ruw wordt afge­kapt. Een niet verwaar­loos­baar aantal kandida­ten zou dan volgens de normale verde­ling eigen­lijk meer dan de maxima­le score moeten behalen. Een derge­lijke situa­tie doet zich vaak voor bij wiskun­de B, vooral op het vwo. Zo waren er bij het vwo-examen wiskun­de B van 2018 maxi­maal 73 punten te behalen. De gemid­delde score bedroeg 49,7 punten en de stan­daardaf­wijking bedroeg 13 punten. De maxima­le score lag dus slechts 1,8 stan­daardaf­wijkin­gen boven het gemid­delde. Laten we eens naar de verde­ling van de scores van dat examen kijken. Het valt op dat er de laatste jaren opval­lend veel kandida­ten volgens de eerste correc­tie een fout­loos examen vwo wiskun­de-B maken. In 2018 haalden 171 kandida­ten de maxima­le score. Dat was ruim 1% van alle kandida­ten. Nog eens 381 kandida­ten verlo­ren maar één punt. Bijna 6% van de kandida­ten misten minder dan 4 van de 73 te behalen punten. Als we de scores van dit examen in beeld brengen, dan zien we een verde­ling die met name de rechter­kant beslist niet normaal is. Ook zien we dat de beta-binomia­le verde­ling hier tekort schiet.

Bimo­daal? Wat is hier aan de hand? Ik geef mijn mening graag voor een betere maar die laatste verde­ling doet me denken aan een afge­zwakte vorm van een bimoda­le verde­ling. De combina­tie van twee verde­lingen kan de score­verde­ling in grote lijnen reprodu­ceren, zoals de grafiek hier­naast laat zien. Voor de getoon­de benade­ring ben ik uitge­gaan van twee groepen kandida­ten: Een groep van 75% van de kandida­ten die gemid­deld 47 punten scoort met een stan­daardaf­wijking van 12 punten. Een groep van 25% van de kandida­ten die gemid­deld veel hoger scoort, name­lijk 65 punten met een stan­daardaf­wijking van 5 punten.

Voor die deel­groep van 25% die veel hoger scoort, zou je mis­schien geneigd zijn om te denken aan de groep van kandida­ten met het profiel Natuur & Tech­niek of aan de groep van kandida­ten met wiskun­de D in het pakket. Maar de gemid­delde score van de leerlin­gen met het profiel Natuur & Tech­niek is met onge­veer 52 punten wel wat hoger maar komt bij lange na niet bij de voor de verkla­ring benodig­de 65 punten in de buurt. En de groep van kandida­ten met wiskun­de D is met nog geen 9% veel te klein om voldoen­de van invloed te kunnen zijn. Alleen wiskun­de B?
Het lijkt erop dat het bimoda­le ver­schijn­sel dat ik hierbo­ven be­schreef zich alleen voor­doet bij het vwo-examen wiskun­de B. Mis­schien dat iemand met meer ver­stand van zaken hier zijn of haar licht eens over wil laten schij­nen. gk

Dit voor­jaar is in de reeks "Een vakspe­cifieke uitwer­king van taalge­richt vakon­derwijs" een brochu­re versche­nen met als titel "Redene­ren en formule­ren bij wiskun­devak­ken". Uit­gangs­punt van de brochu­re is dat een vaktaal, in dit geval de wiskun­detaal, eigen­lijk een nieuwe taal is die aange­leerd moet worden. De auteurs van "Redene­ren en formule­ren bij wiskun­devak­ken" zijn Bart van der Leeuw, Theun Mee­stringa, Jos Tolboom en Monica Weijers. Zij geven in het eerste hoofd­stuk een theore­tisch kader, gebrui­ken dat kader in de volgen­de twee hoofd­stukken en beslui­ten de brochu­re met sugges­ties voor de prak­tijk. De brochu­re bevat veel voor­beeldma­teriaal uit examens en lesme­thoden. Kader
Binnen het door de auteurs ge­schets­te theore­tisch kader spelen vier begrip­pen een centra­le rol:

• De Stadia die een tekst door­loopt.
• Het Veld: het alle­daags taalge­bruik versus de vakter­men.
• De Modus: de verhou­ding tussen ver­schil­lende soorten taalge­bruik (onder andere de verhou­ding tussen monde­ling en schrif­telijk taalge­bruik) en tussen tekst en illu­stra­ties.
• De Toon: de verhou­ding van de auteur tot de lezer.

De gedach­te in de brochu­re is dat leerlin­gen geduren­de hun oplei­ding steeds meer met vakter­men moeten worden gecon­fron­teerd, steeds meer schrif­telijk aan het werk moeten worden gezet en steeds meer als expert moeten worden behan­deld. Genres
De titel van de brochu­re geeft het al aan; er wordt in de brochu­re veel aan­dacht besteed aan het wiskun­dig redene­ren. Binnen dat kader komen er ver­schil­lende genres aan de orde. Een genre wordt hierbij gedefi­niëerd als "een doelge­richt, gefa­seerd en sociaal proces waarin een bepaal­de redene­ring wordt gereali­seerd". Enkele voor­beelden van genres zijn:

• Verslag: het be­schrij­ven van een gebeur­tenis.
• Be­schrij­ving: het specifi­ceren en classi­ficeren van een zaak of gebeur­tenis.
• Procedu­re: het be­schrij­ven van hoe moet worden gehan­deld.
• Verkla­ring: het uitleg­gen en inter­prete­ren van een gebeur­tenis.
• Betoog: het beargu­mente­ren van een stel­ling.

Volgens de schrij­vers zijn bij wiskun­de vooral de genres verslag en procedu­re van belang. Deze begrip­pen staan dan ook cen­traal in de rest van de brochu­re. Redene­ren?
Het genre verkla­ren is volgens de auteurs binnen het vak wiskun­de minder belang­rijk. Zij baseren zich daarbij op de beteke­nis die dit woord volgens hen buiten de wiskun­de heeft. Vermoe­delijk wordt er om dezelf­de reden in de brochu­re geen aan­dacht besteed aan het genre betoog. Ik vraag mij af of het het een gelukki­ge keuze is om op basis van elders gangba­re defini­ties geen uitdruk­kelijke aan­dacht te beste­den aan verkla­ren en betogen. Maar mis­schien denkt u daar anders over; leest u deze gratis brochu­re vooral ook zelf. Gerard Kool­stra

Het Plat­form VVVO is een samen­wer­kings­verband van Vakin­houde­lijke Vereni­gingen van docen­ten in het Voortge­zet Onder­wijs. De Neder­landse Vereni­ging van Wiskun­delera­ren (NVvW) is een van de deelne­mende vereni­gingen aan dat plat­form. Kort voor het begin van de zomerva­kantie heeft het plat­form VVVO een brief ge­stuurd naar de coördi­natie­groep van curricu­lum.nu waarin min of meer het vertrou­wen in curricu­lum.nu wordt opge­zegd. De brief spreekt waarde­ring uit voor de con­struc­tieve en enthou­siaste inzet van de leraren in de ontwik­kel­teams, die onder druk en binnen zeer strakke termij­nen moeten werken en deson­danks open staan voor sugges­ties en kritiek vanuit de vakvere­nigin­gen. Maar direct hierna worden deze drie proble­men gesigna­leerd:

1. Curricu­lumont­wikke­ling is een zeer complex proces, dat veel veel experti­se vraagt. Docen­ten in de ontwik­kel­teams beschik­ken niet altijd over deze experti­se. Daar­door is naar het oordeel van de meeste vakvere­nigin­gen de vakin­houd onvol­doende gewaar­borgd.
2. Er dreigt onduide­lijk­heid over de positie van de afzon­derlij­ke vakken binnen het funde­rend onder­wijs.
3. Een verken­ning van scena­rio's van toet­sing en examens na een eventue­le curricu­lumaan­passing voor het funde­rend onder­wijs is veel te voorba­rig.

Na deze opsom­ming volgt het harde oordeel:

"De vakvere­nigin­gen, vere­nigd in het Plat­form VVVO hebben niet of nauwe­lijks vertrou­wen in een goede uit­komst van dit proces, waar het gaat om het aanleve­ren van kwalita­tief goede bouwste­nen voor een toe­komstbe­stendig curricu­lum voor onze leerlin­gen."

Ministe­riële reactie

	Minis­ter Arie Slob

Minis­ter Slob heeft, daartoe uitgeno­digd door Peter Kwint (SP), op 10 septem­ber 2018 in een brief aan de Tweede Kamer gerea­geerd. De minis­ter zegt dat hij nog steeds vertrou­wen heeft in curricu­lum.nu. Wel bena­drukt hij dat de vakin­houd een stevige plek moet hebben en dat de eindter­men per vak moeten worden beschre­ven. De minis­ter merkt in zijn brief op dat de vakvere­nigin­gen betrok­ken zijn geweest bij de selec­tie van de leden van de ontwik­kel­teams. Verder kondigt hij aan dat voor elk ontwik­kelteam een "vakin­houde­lijke kring van vakex­perts" wordt inge­steld die "reflec­teren op de vakin­houde­lijke kwali­teit". Examine­ring
Minis­ter Slob schrijft de Kamer dat het de bedoe­ling is dat eerst de inhoud van de onder­wijspro­gramma's wordt gecon­creti­seerd en pas daarna de gevol­gen voor de toet­sing aan de orde komt. Om te voorko­men dat inhoude­lijke vernieu­wingen kunnen worden belem­merd door een onvol­doende meebewe­gende toets­prak­tijk wordt er ook gekeken naar mogelij­ke gevol­gen voor de toets- en examen­prak­tijk. Dit wordt niet gedaan door de ontwik­kel­teams maar door de Coördi­natie­groep van curricu­lum.nu. De concre­te uitwer­king vindt echter pas na afron­ding van de ontwik­kelfase en de politie­ke besluit­vorming plaats. gk

De afde­ling Toege­paste Wiskun­de van de facul­teit Elektro­tech­niek, Wiskun­de en Informa­tica van de Univer­siteit Twente organi­seert jaar­lijks een studie­middag voor wiskun­dedocen­ten en andere belang­stellen­den. Dit jaar is het thema Statis­tiek en Data Science in het voortge­zet onder­wijs. De studie­middag vindt plaats op woens­dag 26 septem­ber 2018 van 14:00 tot 17:15 uur in zaal RA 2503 van het gebouw Rave­lijn op het univer­siteits­terrein van de Univer­siteit Twente. Het program­ma van de studie­middag ziet er als volgt uit:

tijd	onder­deel
14:00 uur	Ont­vangst met koffie en thee.
14:25 uur	Opening door dr. Jan Willem Polder­man, oplei­dingsdi­recteur Toege­paste Wiskun­de.
14:30 uur	"Optima­le Bezet­ting Incheck Coun­ters Schip­hol", prof. Nico van Dijk, hoogle­raar wiskun­de UT en UvA.
15:15 uur	"Statis­tiek in het VO", dr. Tom Coenen, docent VO en medewer­ker leraren­oplei­ding UT.
16:15 uur	Work­shop Data Science met als onder­werp: "Wat kun je alle­maal uit sportda­ta halen", prof. Joost Kok, decaan van de facul­teit EWI en tot voor kort hoogle­raar Informa­tica aan de Univer­siteit Leiden.
17:15 uur	Wine and Cheese.

Deelna­me aan deze middag is gratis en deelne­mers krijgen een certifi­caat van deelna­me. Volg deze link voor meer informa­tie of om u voor de studie­middag op te geven. U kunt zich tot 23 septem­ber 2018 aanmel­den. Jan Willem Polder­man, oplei­dingsdi­recteur Toege­paste Wiskun­de
Gerard Jeur­nink, vakdi­dacti­cus wiskun­de

Op de website van Duide­lijk Wiskun­de staan bijna 50 video's met uitleg voor de brug­klas van vmbo-T en havo/vwo. De video's zijn niet langer dan 5 minuten per stuk en zijn ge­schikt voor klassi­kale en indivi­duele uitleg en voor herha­ling in de hogere leerja­ren. De video's staan per methode gerang­schikt op onder­werp. Er zijn video's voor Getal & Ruimte (brug­klasboe­ken Getal & Ruimte 10^e en 12^e editie), Moderne Wiskun­de (brug­klasboe­ken 10^e en 12^e editie) en Better­marks (1^e en 2^e leer­jaar). Vanaf heden zijn er ook video's voor de 12^e editie van Getal & Ruimte vmbo-T/H beschik­baar. Youtube
Er worden regelma­tig nieuwe video's toege­voegd. Wie zich abon­neert op het YouTube­kanaal van Duide­lijk Wiskun­de krijgt een melding als er weer een nieuwe video beschik­baar is. M.J. Allis (marijke.duide­lijkwis­kunde@gmail.com)

Binnen het onder­wijs maken we onder­scheid tussen summa­tief toetsen en forma­tief toetsen. Summa­tief toetsen is de klassie­ke manier van toetsen; met de toets wordt vastge­steld of de leerdoe­len zijn behaald. De forma­tieve toets wordt niet na maar tijdens het leerpro­ces afgeno­men en dient ertoe om het leerpro­ces te analyse­ren en te verbete­ren. Op woens­dag 21 novem­ber 2018 organi­seert SLO samen met Hoge­school Utrecht en de univer­sitei­ten van Maas­tricht, Twente en Wagenin­gen de confe­rentie "Forma­tief Toetsen". Tijdens deze confe­rentie leert u hoe u de tech­niek van het forma­tief toetsen kunt inzet­ten in uw klas of kunt imple­mente­ren op uw school. Vanuit twee groot­schali­ge onder­zoeks­projec­ten worden nieuwe inzich­ten met betrek­king tot het forma­tief toetsen gepre­sen­teerd. In ver­schil­lende work­shops kunt u daarna aan de slag met instru­menten, handvat­ten en opbreng­sten uit de onder­zoeks­projec­ten. Voortge­zet onder­wijs
De confe­rentie richt zich in de eerste plaats op docen­ten, leraren­oplei­ders en school­leiders uit het voortge­zet onder­wijs. Maar ook andere belang­stellen­den zijn uiter­aard welkom. Om 10:00 uur begint het program­ma met een inlei­ding, gevolgd door korte presen­taties van de work­shops. Aan de hand van deze presen­taties kunt u vervol­gens twee van de work­shops kiezen. Om onge­veer 16:30 uur kunt u ter afslui­ting onder het genot van een drankje uw ervarin­gen met de andere deelne­mers uitwis­selen. De confe­rentie vindt plaats bij het NBC te Nieuwe­gein en kost € 75,= per persoon. Meer informa­tie over deze confe­rentie vindt u hier en u kunt zich via deze link in­schrij­ven. Let wel op: bij in­schrij­ving moet u meteen betalen. Pas na de beta­ling is uw in­schrij­ving defini­tief. U ont­vangt een beta­lingsbe­wijs als bijlage bij de bevesti­gings­mail.

De toe­komst van het wiskun­deonder­wijs begint nu. Class­Pad.net is een vernieu­wend all-in-one online program­ma voor het wiskun­deonder­wijs. U kunt het program­ma gebrui­ken op PC's, Macs en tablets. Presen­teer uw lesstof op een prakti­sche en aanspre­kende manier en maak of deel eenvou­dig opgaven met uw leerlin­gen en collega's. Ga naar: www.class­pad.net, bekijk de video en probeer het zelf.

10 oktober 2018 in Amers­foort. Laat je onder­dompe­len in een wereld van voor­beelden om leerlin­gen te motive­ren en uit te dagen om wiskun­dige onder­werpen te onder­zoeken en te begrij­pen. Kijk op de website van T3 voor uitge­breide informa­tie over het thema, de vijf­tien work­shops en de bèta­proeve­rij. Volg deze link om u in te schrij­ven.