nummer 684, 2 novem­ber 2014

Dit is mijn laatste jaar als wiskun­dele­raar. Een jaar met een groep wiskun­de B VWO en een groepje wiskun­de D VWO. In de zomerva­kantie heb ik eens terugge­keken naar de wiskun­de (B) examens sinds 1957, het jaar waarin ik zelf als HBS leer­ling examen deed. De site www.hhofste­de.nl/opgaven/examens/examens.htm kan ik u warm aanbeve­len. De site bevat naast oude examens ook ideeën voor prakti­sche opdrach­ten en profiel­werk­stukken. Ik heb van deze site zeven examens uitge­werkt uit de tweede helft van de twintig­ste eeuw, mij telkens in gedach­ten ver­plaat­send naar de wiskun­dele­raar anno nu, die des­tijds zelf ooit een wiskun­de examen havo/vwo aflegde. Uitwer­kingen
Een PDF verslag van mijn arbeid, geti­teld "Met de kennis van nu", kunt u hier downloa­den. Collega's van 36 jaar hebben moge­lijk in 1996 examen afge­legd. Ik ben be­nieuwd naar hun herinne­ringen aan de con­struc­tie in het rechte prisma van vraag 10. Collega's van 56 jaar, die zich na de havo, eventu­eel doorge­stroomd naar het athene­um, via de leraren­oplei­ding tweede- en eerste­graads be­kwaamd hebben, zullen genie­ten van het uitgeba­lanceer­de, strakke en veelzij­dige examen havo 1971. Zwarte bladzij­de
Opval­lend was dat heel veel onder­werpen tegen­woordig op de wiskun­de B examens niet meer ge­toetst worden. Vector­reke­ning inclu­sief uitwen­dig product op de havo! Maar ook absolu­te waarden, limie­ten, continu­ïteit en diffe­renti­eerbaar­heid, meetkun­dige (sommeer­bare) rijen, parti­eel integre­ren, arctan­gens, trigono­metrie en goniome­trische formu­les, kansre­kening (zat wel in wiskun­de I en wiskun­de B1), impli­ciete func­ties en diffe­renti­aalver­gelij­kingen. Veel te veel om op te noemen. Wat is daar­voor in de plaats gekomen? Ik heb lang nage­dacht. Ik vond alleen het onder­werp koorden­vierhoe­ken, dat overi­gens in mijn HBS tijd al in de derde klas werd behan­deld. Een zwarte bladzij­de in het wiskun­deonder­wijs. Wel zijn sinds het midden van de jaren '90 steeds vaker plaat­jes, contex­ten, formule­bladen en grafi­sche rekenma­chines deel gaan uitma­ken van de wiskun­de B examens. Het verhaal van wiskun­de B1 en B1,2 en weer terug naar wiskun­de B (zonder kansre­kening) uit het derde millen­nium ligt nog te vers in het geheu­gen om in deze terug­blik te verwer­ken. Henk Pfaltz­graff
Zaan­dijk

Neder­land heeft in 2014 in het eindexa­men wiskun­de C vwo foutie­ve antwoor­den goed gere­kend en correc­te antwoor­den fout gere­kend. Wat liep er mis? Wat heeft de examen­commis­sie daaraan gedaan? Wat zijn de gevol­gen? Wiskun­de is onver­bidde­lijk. Er staat wat er staat, vrij naar de dichter Nijhoff. Factor of groei­factor?
Neem eens de meetkun­dige rij 1, ¹/₂, ¹/₄, ¹/₈, ... Opeen­volgen­de termen nemen in die rij af met een factor 2. De groei­factor van de rij is dus ¹/₂. Op een vraag: "De termen in de rij nemen af met een vaste factor. Bepaal die factor in drie decima­len nauwkeu­rig" is het correc­te ant­woord 2.000. Maar wat is nu het juiste ant­woord op vraag 5 van het examen?

De termen van de rij nemen af met een vaste groei­factor. Bepaal deze groei­factor in drie decima­len nauwkeu­rig.

De opper­vlakki­ge lezer denkt mis­schien: "Het is een dalende rij dus het moet een groei­factor kleiner dan 1 worden". De oplet­tende lezer denkt: "De termen van de rij nemen af met een vaste factor 2. Hier staat dat dat de groei­factor is". Wie heeft er gelijk? Wie geeft u de punten?
Je kan het natuur­lijk ook anders zien. Onver­bidde­lijk­heid is niet meer van deze tijd. Onze moderne wereld vraagt om flexibi­liteit. Het gaat erom wat er bedoeld wordt. Er staat niet wat er staat. Het eerste deel van de vraag is gewoon wat gekweb­bel om de term "groei­factor" in het geheu­gen op te roepen. Alleen een nerd geeft op deze vraag het ant­woord 2. De leer­ling die een totaal­beeld heeft, be­grijpt waar de vragen­steller naar toe wil en weet dat de groei­factor van deze dalende rij ¹/₂ is. Deze leer­ling krijgt een punt en de nerd niet. Maar aan wie zou u het punt geven, lezer? Ieder ant­woord is goed
De echte verras­sing zit echter in vraag 6, die net als vraag 5 over groei­spira­len gaat. Dat is echter een te lang verhaal voor deze Wiskun­dE-brief. Maar ik wil er het volgen­de over kwijt: Het is niet eenvou­dig om een wiskun­devraag te beden­ken waarop ieder ant­woord correct is. Probeer het maar eens. Maar zou het niet "vet" zijn als je als leer­ling op je eindexa­men zo'n opgave krijgt? Er bestaat een land waar ze zo'n vraag bedacht hebben en vervol­gens hebben ver­werkt in het eindexa­men. Wie het hele verhaal wil horen, nodig ik uit om een lege email aan A.A.Balkema@uva.nl te sturen met als onder­werp "groei­spira­len". Guus Balkema

Afgelo­pen week is ook in Neder­land enige beroe­ring ont­staan rond het program­ma Photo­Math, een gratis "app" waarmee wiskun­deopga­ven kunnen worden gescand en ook meteen opge­lost zouden kunnen worden. Naast juichen­de reac­ties ("de oplos­sing voor ieder­een die slecht is in rekenen/wiskun­de") zijn er ook kriti­scher commen­taren. Zie bijvoor­beeld deze weblog. Het lijkt me in ieder geval zinnig als (wiskun­de)docen­ten op de hoogte zijn van de moge­lijkhe­den van derge­lijke program­ma's. Belang­rijk om te weten is dat Photo­Math ook stapsge­wijze oplos­singen gene­reert. De kwali­teit is daarbij echter soms dubieus. Meer info kunt u onder andere via photo­math.net vinden. gk

Met ingang van het school­jaar 2015-2016 zijn de nieuwe examen­program­ma’s havo-vwo voor alle wiskun­devak­ken van kracht. Naast nieuwe leer­stof is in de examen­program­ma’s en syllabi gekozen voor een nieuwe formule­ring van de leer­stofo­verstij­gende leerdoe­len. In die nieuwe formule­ring krijgen wiskun­dige denkac­tivitei­ten (WDA) een grote aan­dacht. Onlangs is de brochu­re Onder­wijzen en toetsen van wiskun­dige denkac­tivitei­ten versche­nen, geschre­ven door Anne van Streun. In dit docu­ment worden opgaven uit de pilotex­amens ge­bruikt als voor­beelden voor de manier waarop wiskun­dige denkac­tivitei­ten kunnen worden gestimu­leerd in de lessen en hoe ze kunnen worden ge­toetst. Gratis op 8 novem­ber
De brochu­re is te vinden via deze link. Op de jaar­lijkse studie­dag van de NVvW op 8 novem­ber 2014 ontvan­gen alle deelne­mers een gratis exem­plaar van deze publica­tie. Op deze studie­dag zal Anne van Streun de publica­tie in een werk­groep ook prak­tisch toelich­ten. gk

Voor middel­bare scholie­ren die het oplos­sen van prakti­sche wiskun­dige proble­men als een uitda­ging beschou­wen, organi­seert 3TU.AMI, een samen­wer­kings­verband van de drie techni­sche univer­sitei­ten Delft, Eindho­ven en Twente, ook dit jaar weer een interna­tionale wiskun­dewed­strijd via het inter­net. De drie techni­sche univer­sitei­ten organi­seren deze wed­strijd in samen­werking met het Duitse wiskun­deinsti­tuut Matheon in Berlijn. De wed­strijd wordt in de vorm van een advents­kalen­der, de zoge­naamde Matheka­lender, ge­speeld en vindt plaats in de advents­periode van 1 tot en met 24 decem­ber 2014. In die periode wordt elk dag op de officie­le wed­strijd­site een vakje van de kalen­der "geopend" waarach­ter zich een wiskun­dige opgave bevindt met tien mogelij­ke antwoor­den. De opgaven zijn in het Duits gesteld maar voor­zien van een Neder­landse verta­ling. Als je de Duitse taal niet goed be­heerst, vormt dat dus geen belemme­ring. Pittige uitda­gingen met leuke prijzen
De proble­men zijn gesteld binnen een fraaie en bij de advents­periode passen­de context maar zijn niet altijd even gemakke­lijk. Soms zijn de proble­men zelfs van het niveau van de finale van de Neder­landse Wiskun­de Olympia­de. De oplos­singen vergen in princi­pe geen geavan­ceerde wiskun­de. Matheon stelt fraaie prijzen beschik­baar. Boven­dien schenkt de 3TU.AMI organi­satie een note­book of iPad aan de Neder­landse scho­lier met de beste score. De wed­strijd is indivi­dueel maar het kan leuk zijn om met een groep of klas te probe­ren om samen de goede oplos­sing te vinden. Zegt het daarom voort aan collega's en natuur­lijk aan geïnte­resseer­de leerlin­gen. Verdere informa­tie vindt u op de Neder­landse website van deze wed­strijd. Hennie ter Morsche
TU/e Eindho­ven

De digita­le veld­raadple­ging over de voor­beeld­toets rekenen 3S is gestart. U kunt zich tot en met 16 novem­ber 2014 aanmel­den via de site van het CvtE. Via deze link is ook de voor­beeldre­ken­toets te raadple­gen. De voor­beeld­toets bestaat uit 51 vragen en moet in 140 minuten worden gemaakt. Er zijn drie onderde­len.

1. Opgaven zonder context en zonder rekenma­chine.
2. Context­opgaven zonder rekenma­chine.
3. Context­opgaven met rekenma­chine.

Een impres­sie
De voor­beeldop­gaven van de derde groep (21 vragen) komen overeen met eerder gepubli­ceerde voor­beeldop­gaven 3F. Groep 2 (15 vragen) bevat context­opgaven die zonder rekenma­chine moeten worden opge­lost. De "verha­len" lijken wat korter te zijn dan tot nu toe bij 3F gebrui­kelijk was. En er zijn ook wat minder illu­stra­ties bij de opgaven. Bij de 15 de "kale sommen" zag ik onder andere het deci­maal benade­ren van een breuk, het delen met breuken (drie maal), een deling met een rest en een vermom­ming van 6⁵/6⁴ voorbij komen. gk

Bij de examens van Rekenen MBO COE (2F en 3F) kunnen opgaven voorko­men waarbij een rekenma­chine is toege­staan. De rekenma­chine voor deze examens wordt binnen de examen­softwa­re van Examen­Tester MBO digi­taal aangebo­den. Gebruik van een eigen rekenma­chine is bij het maken van een pilotre­kenexa­men MBO niet toege­staan. De digita­le rekenma­chine binnen Examen­Tester MBO wordt de CRM genoemd, dat staat voor Compu­ter Rekenma­chine. In septem­ber 2014 ver­scheen een bochure Gebruik CRM-rekenma­chine (versie 1.0) bij Examen­Test MBO 2.11. Hoewel dit docu­ment uitdruk­kelijk voor het MBO is gemaakt, zijn de aanwij­zingen ook bruik­baar voor het VO, met name bij het voorbe­reiden van de reken­toets. Een aparte brochu­re voor het VO is voorlo­pig nog niet beschik­baar. gk

Het kabinet wil dat het cijfer voor de ver­plichte reken­toets vanaf het school­jaar 2015-2016 gaat meetel­len voor het eindexa­men. De VO-raad is hier op tegen. De VO-raad pleit ervoor dat de reken­toets hele­maal niet wordt opgeno­men in de slaag-/zakrege­ling. Het cijfer voor de reken­toets zou volgens de VO-raad, net zoals in dit school­jaar, vanaf volgend school­jaar op een apart certifi­caat bij het diploma moeten worden ge­plaatst. Geen belemme­ring
De raad staat op het stand­punt dat het goed is om het rekenni­veau van leerlin­gen te bepalen en daar het onder­wijs op af te stemmen. De toets mag echter geen voor­waarde vormen voor het behalen van een diploma of voor toela­ting tot het vervolg­onder­wijs in het alge­meen. Bron: website van de VO-raad.

Het uit­gangs­punt voor de ontwik­keling van Math­Plus is een digita­le leerom­geving die:

• U als docent meer inzicht en over­zicht geeft.
• Wiskun­de interes­santer maakt voor alle leerlin­gen.
• Beter in­speelt op niveau­ver­schil­len tussen leerlin­gen.

We komen graag langs voor een kennis­makings­gesprek bij u op school. Meer informa­tie of een af­spraak? Bezoek www.math­plus.nl.

Waarom alles zelf uitleg­gen? Met Casio College kunnen leerlin­gen zelf­standig de werking van de fx-CG20 en fx-82ES PLUS onder de knie krijgen. In 7 video's behande­len we de bedie­ning en de belang­rijkste func­ties. Ga naar: www.casio-educa­tie.nl/casio­college. Stuur de link door aan uw leerlin­gen!

Bent u tweede­graads leraar en wilt u de stap naar de boven­bouw maken? Toe aan uitbrei­ding van uw vakken­nis en vernieu­wing van leerar­range­menten havo/vwo? Tijd voor een master­graad? Kom voor de Master Leraar Wiskun­de naar de Open Avond op 11 novem­ber 2014.

Op Slimle­ren oefenen leerlin­gen zelf­standig hun wiskun­de lesstof, waarbij dankzij directe feed­back iedere fout meteen resul­teert in meer begrip. Het intuï­tieve ontwerp & gamifi­cation elemen­ten maakt het leren leuker en makke­lijker. Wij vragen alle wiskun­dedocen­ten die enthou­siast zijn over ons initia­tief om Slimle­ren onder de aan­dacht van leerlin­gen (onder­bouw havo & vwo) te brengen. Kijk voor meer informa­tie op www.slimle­ren.nl.