WiskundE-brief nr. 548     9-01-2011

in dit nummer:

• Omzetting scores in cijfers bij het CE: regelgeving en praktijk

• Syllabi 2012 definitief

• Meetkundeprogramma vwo en Geocadabra

• Wiskunde D bijeenkomst in Utrecht op 7 april

• Verschenen: Duel at Dawn (Alexander)

• Verschenen: Proofiness (Seife)

• Verschenen: Nieuwe getallenstelsels (Van den Essen)

• De negende APS-wiskundeconferentie [adv.]

• Vacature te Haarlem, 2e graads [adv.]

• Vacature te Apeldoorn [adv.]

Omzetting scores in cijfers bij het CE: regelgeving en praktijk

In nr 540 is al aangestipt dat de wettelijke basis voor de omzetting van scores in cijfers bij het CE (met toepassing van de roemruchte N-term) wankel is, doordat in het Eindexamenbesluit (art. 42.1) naar "het verkeerde" onderdeel van de Wet College voor examens wordt verwezen. Bij nader onderzoek blijkt er nog veel meer aan de hand te zijn. De hele omzetting van scores naar cijfers zoals die op basis van de omzettingstabellen van Cito/CvE (of de achterliggende formules die door cijferprogramma's worden gebruikt) plaats vindt, voldoet niet aan de wettelijke voorschriften. Daarbij gaat het niet zozeer om de N-term die onderdeel is van de "hoofdrelatie" C=9/L·S +N, maar om de zg. grensrelaties die - als het goed is - alleen een rol zouden moeten spelen bij zeer hoge of zeer lage scores, maar als de offciële regels echt worden toegepast vaak ook voor 'normale' scores bepalend zijn voor het cijfer.

In de Staatscourant nr. 5319 van 7 april 2010 is (na goedkeuring van de Staatssecretaris van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap, gegeven op 2 maart 2010, nummer VO/OK/190619) de Regeling van het College voor examens van 14 januari 2010, nummer Cve-10.0003, houdende vaststelling van regels voor de omzetting van scores in cijfers gepubliceerd. Hierin staat (in supplement 1 van de bijlage) onder meer het volgende:

"Het nieuwe systeem voor de omzetting van score naar cijfer is gebaseerd op de volgende vier uitgangspunten:

1. Elk gescoord punt draagt altijd bij tot een hoger examencijfer (afronding daargelaten);
2. Een score van 0% correspondeert altijd en als enige met examencijfer 1,0;
3. Een score van 100% correspondeert altijd en als enige met examencijfer 10,0;
4. Over een zo breed mogelijk centraal interval van de scoreschaal is er sprake van een constante equivalentie tussen score- en cijferpunten die onafhankelijk is van de normering.

• gerekend vanaf de minimumscore (0%), er voor elk gescoord punt tenminste 0,05 en ten hoogste 0,20 cijferpunt bij het examencijfer bijkomt;
• gerekend vanaf de maximumscore (100%), er voor elk niet gescoord punt tenminste 0,05 en ten hoogste 0,20 cijferpunt van het examencijfer afgaat."

We laten de merkwaardige formulering constante equivalentie even voor wat het is, en gaan na wat de gevolgen zijn van de overige punten. Als elk scorepunt tussen 0,05 en 0,2 cijferpunten oplevert, betekenen de uitgangspunten 2. en 3. dat voor de maximale score (L) geldt:
0,05 L < 9 en 0,2 L > 9
dus L < 180 en L > 45
De eerste ongelijkheid is in de praktijk geen probleem, maar L-waarden (schaallengtes) van minder dan 45 komen wel degelijk voor (vooral bij vmbo BB en KB), en dan is de regeling domweg niet toepasbaar. Maar ook als de schaallengte gelijk is aan 45 of een paar punten daarboven zijn er ernstige problemen. Bij L=45 levert elk scorepunt exact 0,2 cijferpunt op, en is de omzetting totaal onafhankelijk van de N-term. Dat lijkt niet de bedoeling, hoewel je bij uitgangspunt 4 hier wel aan kunt denken. Bij schaallengtes vlak boven de 45 heeft de N-term nauwelijks invloed. Bij het laatste vwo-examen Nederlands (L=47;N=0,0) zouden volgens deze uitgangspunten bijna alle cijfers worden bepaald met de regel "Elk gemist scorepunt kost 0,2 cijferpunt." Wanneer de N-term 2 punten hoger was geweest had dat voor de grote meerderheid van de kandidaten betekend dat hun cijfer slechts 0,4 pt hoger was geweest. Een dergelijke problematiek doet zich vaak voor bij de taalvakken, omdat daar de schaallengtes relatief klein zijn. Ook het niveau van de opleiding is van belang, op het vwo speelt het probleem bij een enkel vak, bij vmbo BB bij bijna alle vakken (wiskunde vormt een uitzondering), en zijn de regels vaak totaal niet toepasbaar omdat de schaallengte kleiner is dan 45.

In genoemde publicatie staat een illustratie van het 'venster' waarbinnen de omzetting plaatsvindt.(zie linker tekening) De drie evenwijdige lijnstukken in het midden hebben als rc: ⁹/_L, ze stellen de 'hoofdrelatie' voor bij N=0,0 ; 1,0 en 2,0. Aan het begin en eind zitten (korte) lijnstukken met richtingsgetallen 0,05 en 0,2.
De tekening klopt voor L=90 en daar in de buurt, maar bij L=50 ziet het er heel anders uit (zie rechter tekening), en bij L=45 is het venster gereduceerd tot een lijnstuk. Bij L=50 is ⁹/_L gelijk aan 0,18, en dat ligt dicht bij de rc van de steile stukken aan het begin en eind. Daardoor ligt bijv N=0,5 of 1,5 meer dan de helft van de 'hoofdrelatie' (C=⁹/_L· S + N) buiten het toegestane gebied.
Hoe meer de N term afwijkt van 1 des te minder wordt deze gebruikt voor de omrekening. Bij N=0 en N=2 speelt de N-term totaal geen rol, omdat de 'hoofdrelatie' dan helemaal buiten het 'venster' ligt.

In de praktijk wordt (dan) ook gewerkt met andere formules (zie ook WiskundE-brief nr. 227)
Het komt erop neer dat in plaats van vaste richtingsgetallen 0,05 en 0,2 gewerkt wordt met richtingsgetallen waarin de schaallengte verwerkt zit : ^4,5/_L en ¹⁸/_L. Deze zijn resp. de helft en het dubbele van het richtingsgetal van de hoofdrelatie: ⁹/_L

score	cijfer 1	cijfer 2
3	1,2	1,3
10	2,6	2,0
20	4,6	3,8
30	6.6	5,7
40	8,6	7,7

Omdat tegenwoordig geldt L < 90 zijn deze richtingsgetallen groter dan de oorspronkelijke. Dat betekent dat in de praktijk de cijfers sneller oplopen bij (zeer) lage scores, maar ook sneller aflopen bij hoge.
Bij lage N-waarden is vooral dat tweede effect van belang. Het laatste CE vwo Nederlands (L=47;N=0,0) kan dit goed illustreren. Zie de tabel hiernaast.
Cijfer 1 is het cijfer op basis van de offciële regels, cijfer 2 is gebaseerd op de regels die in de praktijk worden toegepast (o.a. in de omzettingstabellen). De verschillen zijn aanzienlijk, tot bijna een vol cijferpunt. In dit geval is cijfer 2 in bijna alle gevallen lager; bij N=2 zou dat andersom zijn.
Bij de wiskunde-examens (met schaallengtes meestal boven de 75) zijn de verschillen gering - meestal niet meer dan 0,1 cijferpunt, maar mogelijk soms wel beslissend. Daarbij is het een vreemde gewaarwording dat de cijferbepaling bij het centraal examen van (in ieder geval!) 2010 in strijd blijkt met de officiële regelgeving, en dat niemand daarover aan de bel heeft getrokken...

Het systeem dat in de praktijk wordt gebruikt wordt heeft trouwens een paar aardige eigenschappen. Zo kan voor minstens tweederde van de gevallen de hoofdrelatie gebruikt worden. Dat is in te zien door de snijpunten van de grensrelaties met de hoofdrelatie te bepalen. Voor N<1 gaat dat om het oplossen (naar s) van de vergelijkingen :
⁹/_L· s+N=⁹/_2Ls+1 en ⁹/_L· s+N=¹⁸/_Ls- 8
Dit geeft s=²/₉L(1-N) resp. s=¹/₉ L(N+8)
In het uiterste geval (N=0) geeft dit S=²/₉ L en S=⁸/₉ L . Het verschil bedraagt ²/₃ L.
Voor andere N-termen (0 < N < 1) liggen de snijpunten verder uit elkaar, en kan de hoofdrelatie vaker gebruikt worden. Voor N > 1 volgt op een soortgelijke manier: S < ¹/₉ L en S > ⁷/₉ L
Omdat de scores niet uniform verdeeld zijn, maar eerder normaal met een gemiddelde zo rond of iets boven de helft van de schaallengte kan in de overgrote meerderheid van de gevallen de hoofdrelatie toegepast worden.
Maar dat een systeem aardige eigenschappen heeft wil nog niet zeggen dat het ook rechtsgeldig is …

gk

Syllabi 2012 definitief

De syllabi voor 2012 zijn nu definitief. Ze zijn bereikbaar via www.examenblad.nl, en ook via de naslagpagina op onze website.
Ten opzichte van 2011 zijn er diverse verduidelijkingen. Soms in de vorm van een aanvulling, soms door iets (overbodigs) weg te laten.
Een paar voorbeelden:

• havo wiskunde A: De leerlingen moeten ook uitdrukkingen van de vorm p+q(x+r) kunnen herleiden tot de vorm ax+b
• vwo wiskunde A:  Het oplossen van tweedegraadsvergelijkingen met drie parameters ongelijk aan nul m.b.v. de abc-formule behoort niet tot het programma, wel het 'handmatig' oplossen van vergelijkingen van de vorm ax² + c = 0 en ax² + bx = 0
• vwo wiskunde C (en A): het herleiden van √A = B (B=0) tot A=B² moet ook beheerst worden.
• vwo wiskunde B: aan de lijst stellingen is toegevoegd: De lijn door het middelpunt van een cirkel die een koorde die niet door het middelpunt gaat middendoor deelt, staat loodrecht op die koorde. (stelling loodlijn op koorde).

gk

Meetkundeprogramma vwo en Geocadabra

Het is voor leerling en docent wiskunde B vwo handig wanneer er een overzicht is van de Euclidische meetkunde voor het eindexamen. Op pagina 2 van de eindexamens staat immers een overzicht (in telegramstijl) van deze meetkunde. En dan is het handig wanneer er lesmateriaal is dat deze stof (in volgorde van examenbijlage) behandelt en alle bewijzen geeft. Ook geschikt extra oefenmateriaal met uitwerkingen (in examen-CV-stijl) en een links-lijst met passende examenopgaven is aanwezig. Hiernaast zijn alle gebruikte tekeningen beschikbaar in Geocadabra-formaat. Het programma Geocadabra is nu vrij beschikbaar.
Op mijn website members.casema.nl/alecluse kan dit lesmateriaal (compleet met Geocadabra-licentie) worden aangeklikt. Ideaal ook voor gebruik op het digibord. Of als basis in de wiskunde-ELO. Ook uw wiskundeboek bevat geschikte oefenopgaven, natuurlijk!
Hiernaast zijn de artikelen "uit de oude doos" in ons vaktijdschrift Euclides mooie aanvullingen op dit lesprogramma. Ik ben beschikbaar als achterwacht.

Ton Lecluse, e-mailadres: alecluse@casema.nl

Wiskunde D bijeenkomst in Utrecht op 7 april

Op 7 april bent u van harte welkom in Utrecht op een bijeenkomst voor Wiskunde D-docenten. Het thema is ‘wisselwerking tussen Wiskunde D en NLT’. Op het programma staan twee workshops; over de modules ‘Complexe Stromen’ en ‘Zuiver Drinkwater’.
De bijeenkomst wordt georganiseerd door het Bètasteunpunt Utrecht en start om 16.00 uur. Buiten de workshops om, zoals tijdens de maaltijd, is er gelegenheid om ervaring en kennis uit te wisselen met vakgenoten. De avond eindigt om 20.00 uur. De bijeenkomst is gratis. U kunt zich direct aanmelden met het aanmeldformulier of via de website: www.betasteunpunt-utrecht.nl. Contactpersonen zijn Steven Wepster en Quintijn Puite.

Elselien Blokland, e-mailadres: E.G.Blokland@uu.nl

verschenen

In de rubriek ‘Verschenen’ zal kort aandacht besteed worden aan nieuwe publicaties en software op het gebied van het wiskundeonderwijs.
Inzendingen zijn welkom; de redactie beslist uiteindelijk of en hoe de bijdrage geplaatst wordt.
Voor meer informatie zie www.wiskundebrief.nl/bijdragen.html Deze keer aandacht voor drie boeken, waarvan twee Engelstalig.

Duel at Dawn, door Amir Alexander

Subtitel: Heroes, Martyrs, and the Rise of Modern Mathematics
Harvard University Press, 2010
Prijs: € 25,99 (bol.com)
ISBN10: 0674046617,  ISBN13: 9780674046610

De titel van dit boek verwijst naar het duel waarbij de jonge wiskundige Evariste Galois in 1832 het leven liet, en naar het romantische beeld van de geniale wiskundige als tragische held. Alexander beschrijft de veranderende opvattingen, beelden en mythes - van de 18e eeuwse wiskunde als natuurwetenschap, gebaseerd op de materiële werkelijkheid, naar de 19e eeuwse abstracte(re) wiskunde-om-de-wiskunde zoals die tijdens de Romantiek gestalte kreeg.

Proofiness, door Charles Seife

Subtitel: The Dark Arts of Mathematical Deception
Penguin Group USA, 2010
Prijs: € 23,00
ISBN10: 0670022160,  ISBN13: 9780670022168

In dit boek wordt aan de hand van veel voorbeelden ingegaan op het gevaar van naïef en kritiekloos vertrouwen in getallen en andere kwantitatieve informatie, met name als die informatie gepaard gaat met verkeerde en dus misleidende interpretaties. Met ‘proofiness’ bedoelt de auteur de kunst van het op valse en manipulatieve wijze gebruiken van wiskundige/statistische argumenten voor onzuivere doeleinden. Seife betoogt dat dit soort slechte wiskunde zelfs een bedreiging is voor de democratie.

Nieuwe getallenstelsels, door Arno van den Essen

Subtitel: Over schoonheid en nut van ongewone wiskunde
Veen Magazines, 2010
Prijs: € 29,95
ISBN 97890857

Van de achterflap: “ ’Gewone’ getallen kennen we allemaal. Maar er zijn ook nog andere getallenstelsels, net zoals er buiten ons melkwegstelsel nog andere sterrenstelsels bestaan. In de jaren twintig van de vorige eeuw ontdekte de Duitse wiskundige Emmy Noether zulke getallenstelsels, die niet alleen interessant zijn, maar ook praktisch nut hebben. Inmiddels worden ze op grote schaal toegepast in Compact Discs, dvd’s, pinpasjes, internet, Marsfoto’s, computergames en Hollywood-films.”

advertenties

Voor voorwaarden en tarieven zie www.wiskundebrief.nl

De negende APS-wiskundeconferentie – maandag 31 januari 2011

Dit jaar is er tijdens de 9e wiskundeconferentie veel aandacht voor verbazen, verbinden en gebruiken in de wiskundeles. We hebben een speels programma, met oog voor actuele ontwikkelingen.
Ook dit jaar diverse rondes met werkgroepen/presentaties. De inhoud staat beschreven op de site: www.aps.nl/APSsite/Onderwijssectoren/Projecten/Exact/Agenda/Wiskundeconferentie+2011.htm

Vacature te Haarlem, 2e graads

Per 1 maart 2011 komen op het Coornhert Lyceum 17 lesuren per week vacant. Het gaat om reguliere uren.
Inlichtingen kunnen worden verkregen bij de rector, drs. J. Zuelen, tel. 023 - 5121616,  e-mail j.zuelen@coornhert.nl

Vacature te Apeldoorn

De Christelijke scholengemeenschap De Heemgaard in Apeldoorn zoekt per medio maart een docent(e) Wiskunde.
Het betreft bovenbouw- en onderbouwuren in het Havo en Atheneum.
- Bevoegdheid: bij voorkeur 1e graad of studerende
- Huidige rechtspositie kan worden overgenomen
- Structurele bovenbouwuren Havo en Atheneum beschikbaar vanaf 2011-2012
- Vaste aanstelling bespreekbaar
- 17 lesuren per medio maart, daarna betrekkingsomvang in overleg
Zie ook: www.heemgaard.nl