**********************************************************************
WiskundE-brief nr 190 08-07-2001
**********************************************************************
De WiskundE-brief is in de eerste plaats gericht op wiskundedocenten
in het Voortgezet onderwijs.
Bedoeling is elkaar snel op de hoogte te houden van, en meningen uit
te wisselen over voor hen relevante zaken, met enige nadruk op ICT en
nieuwe ontwikkelingen
De redactie wordt gevormd door Jos Andriessen en Gerard Koolstra.
Bijdragen zijn welkom via j.andriessen@hccnet.nl of we-b@xs4all.nl
De redactie behoudt zich het recht voor bijdragen in te korten of niet
te publiceren. Deze brief wordt gestuurd naar ruim 1000 adressen.
Oude nummers zijn te bekijken via http://huizen.dds.nl/~we-brief/
**********************************************************************

In dit nummer:

- REACTIES (2) OP Gr en CSE (WiskundEbrief 187 en 188)
- RAPPORTAGE LEERLINGENRESULTATEN TWEEDE FASE
- REACTIES (2) OP NOODKREET TWEEDE FASE HAVO CM-EXAMEN
(WiskundEbrief 189)
- REACTIE OP NOODZAAK VAN DIFFERENTIËREN (WiskundEbrief 187)
- REACTIE OP WERKDRUK (WiskundEbrief 186)
----------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------

- REACTIE (1) OP Gr en CSE
Los van alle wenselijkheden en waardeoordelen: feit is dat
knoppenkunstenaars in de zeer nabije toekomst hogere cijfers voor
wiskunde zullen halen dan de wat onhandiger types. Ik maakte onlangs
alle (analytische) sommen van de examens nieuwe stijl 2001 met een
(voorgeprogrammeerde!) TI83 in de hand. Bij ongeveer de helft van die
100 sommen was ik sterk in het voordeel t.o.v. degene die het zonder
zo'n ding zou proberen. Niet alleen qua snelheid en nauwkeurigheid, ma
ar vooral ook omdat ik vaak niet na hoefde te denken! Het meest
gebruikte programmaatje van mijn EERSTE HULP PAKKET lost elke
vergelijking 0=F(X) voor je op, je hoeft alleen maar een zeer globale
eerste schatting in te voeren. Kijk maar eens op mijn huispagina
www.henkshoekje.com (Nederlandse versie, Examens 2001) waar 128
programma's voor de TI83 toegelicht staan. De hamvraag voor de
examenmakers in Arnhem is dan ook: hoe maken we een wiskunde-examen
waarin we NIET die speciale "hand"vaardigheid toetsen .
Ik zie eenzelfde probleem ontstaan op het technische HBO, waar het
gebruik van MAPLE toeneemt en de wiskunde aan het uitsterven is.

Henk Pfaltzgraff, Purmerend

-------------------------------------------------------------

- REACTIE (2) OP Gr en CSE

Voor het probleem wat je van de leerlingen moet vragen bij een
proefwerk als het gaat om gebruik van de GRM hebben verschillende
collega's heel bruikbare werkwijzen aangedragen. Toch wil ik de
formule die wij hanteren niet aan de wiskE-brief onthouden om de
discussie mogelijk nog wat nieuwe impulsen te geven. Het gaat daarbij
steeds om een tweetal vragen.
1 Wanneer mag de leerling de GRM hanteren en wanneer wil je een
algebraïsche berekening zien die tot een exact antwoord leidt?
Bij het berekenen van de karakteristieken van een grafiek moet mijns
inziens de leerling nulpunten, extremen, buigpunten en asymptoten
kunnen berekenen, zoals we dat in het oude programma ook vroegen, met
behulp van differentiëren en alle regels die daarbij horen. Hij moet
de rekenregels voor rekenen met machten, rekenen met logaritmen en
rekenen met de gonio-formules beheersen. En wel om twee redenen. In de
eerste plaats omdat het bij functies met een extra parameter veel
handiger is het zonder GRM te doen en bij aan aantal vragen het
zelfs niet zonder kan. Als de leerling dan geen vaardigheid heeft,
loopt hij onmiddellijk vast. In de methode die wij gebruiken (Pascal)
worden die vraagstukken royaal aangeboden door het hele 5VWO-boek
heen. Voor de havo geldt dit mogelijk in iets mindere mate. Maar ook
daar heb je soms algebraïsche vaardigheden nodig en als die niet
geoefend
zijn, lopen de leerlingen hopeloos vast. In de tweede plaats heb ik
altijd nog het idee dat ik de leerlingen in de wiskundelessen wiskunde
wil leren. En als dat beperkt blijft tot het handig en vaardig
hanteren van de GRM heb ik sterk het gevoel dat een aantal wezenlijke
doelstellingen die ik heb (en ik dacht dat ik daarin niet alleen
stond) in het geheel niet in mijn onderwijs aan bod komen.
Bijvoorbeeld het zorgvuldig volgens de regels der logica voeren van
een bewijs, of het oorbereiden van mijn leerlingen op een
vervolgstudie waarin de algebra prominent aanwezig is. En niet te
vergeten, het ervaren van het gevoel dat hoort bij het tackelen van
een gecompliceerd vraagstuk of bij het vinden van een volledig bewijs.
Dat wil je leerlingen toch niet onthouden! In de praktijk van het
proefwerk geeft de opdracht bereken algebraïsch aan dat een exact
antwoord wordt verwacht, dus geen afronding, op
welke wijze dan ook met de GRM verkregen. In elk proefwerk komt
minstens één opgave voor die algebraïsch moet worden opgelost. Maar
ook in elk proefwerk komen opgaven voor die met de GRM mogen worden
opgelost.
2 Wat schrijft de leerling op als hij de GRM gebruikt?
Bij het beantwoorden van deze vraag laten we ons leiden door de
gedachte dat we als docent de leerling moeten kunnen narekenen en
omdat er voor bepaalde problemen vele manieren zijn om die met de GRM
op te lossen, moet de leerling zodanig noteren welke weg hij heeft
bewandeld dat ik hem als docent kan narekenen. Meestal kan hij daarbij
volstaan met het noteren van enkele toetsen.

Rens Houtman Kalsbeek College, Woerden

----------------------------------------------------------------------
------

- RAPPORTAGE LEERLINGENRESULTATEN TWEEDE FASE

De VVO heeft onlangs een brochure uitgebracht over de rapportage van
leerlingresultaten in de Tweede Fase. Tijdens de schoolbezoeken kwam
op nagenoeg alle scholen aan de orde dat de cijferverwerking en rappor
tage rampzalig verliepen. De tweede fase zorgt sowieso al voor
meer administratieve verplichtingen. Bovendien werkt het
administratiesysteem bijna nergens zoals de school het graag zou zien
met als gevolg dat er voor geen van de partijen leesbare rapporten
uitrollen, waarmee duidelijk wordt hoe de betreffende leerling ervoor
staat.
Voor de VVO was dit aanleiding om te inventariseren hoe de scholen van
de Tweede-
Fase-Implementatiegroep van de VVO dit probleem hebben aangepakt. In
de brochure Een nieuw rapport treft u negen voorbeelden aan van
rapportage aan leerlingen, ouders en docenten. Uit de beschrijvingen
wordt duidelijk dat nog geen van de negen scholen al helemaal tevreden
is over hun wijze van administratie en rapportage. Vragen waarvoor de
scholen zich gesteld zagen waren bijvoorbeeld:
- Nemen wij de gegevens van de handelingsdelen op bij de rapportage en
zo ja, hoe?
- Nemen we alleen de gegevens van de voortgangstoetsen op of alleen
die van de schoolexamentoetsen of een combinatie van beide?
- Als we die gegevens opnemen, worden dat dan alleen losse cijfers of
ook gemiddelde cijfers?
- Nemen we de gegevens van vorige jaarperioden of van vorige
schooljaren mee op het rapport of vermelden we alleen de nieuwste
gegevens?
- Welk verband bestaat er tussen
schoolexamencijfers,voortgangstoetscijfers, vergangsrapporten en het
bevorderen van de leerling?
De antwoorden op deze vragen hangen nauw samen met de keuzes die
gemaakt zijn m.b.t. het PTA.
Uit de negen voorbeelden blijkt dat de scholen sterk verschillende
oplossingen hebben gekozen. De ene school werkt uitsluitend met
cijferoverzichten, de andere kiest voor een (traditioneel) rapport met
daarnaast een cijferoverzicht van schoolexamens en een overzicht van
handelingsdelen. Een derde komt met een woordverslag over
studiehouding en apart daarvan een schoolexamenoverzicht. Alle negen
scholen zijn er op gestuit dat de digitale verwerking van
leerlinggegevens in schooladministratiepogrammatuur nog ver verwijderd
is van de ideale situatie, met als gevolg dat er heel veel met de hand
gecorrigeerd moet worden.
De beschrijvingen van de negen scholen laten een verscheidenheid aan
keuzes, problemen, ontwikkelingen en oplossingen zien in de hoop dat
dit voor andere scholen een bron van inspiratie is.
De brochure wordt toegezonden aan alle bij de VVO aangesloten scholen.
Extra exemplaren kunnen tegen verzendkosten worden besteld bij de VVO
(tel. 030-234 90 90, vvo@vvo.nl). Vanaf de website van de VVO is de
brochure ook te downloaden (www.vvo.nl), echter alleen voor leden.

Tweede Fase Adviespunt

------------------------------------------------------------

- REACTIE (1) OP NOODKREET TWEEDE FASE HAVO CM-EXAMEN

Ik heb het laatste halfjaar een docent vervangen die met opfrisverlof
is en o.a. les gegeven aan Havo4 profiel C&M. Gelukkig had ik alleen
cijfers hoger dan 7
De cijfers werden als volgt vastgesteld:
- 70% repetities Getal en Ruimte en een oefen praktische opdracht die
als repetitie meetelt
- 30% praktische opdracht
Doordat mijn leerlingen ervan doordrongen waren dat het een eindexamen
was zijn ze keihard gaan werken, de ene leerling wat eerder dan de
andere, en vooral op het laatst was de inzet fenomenaal. Voor
repetities werd er goed geleerd, met als gevolg dat er slechts af en
toe en steeds minder onvoldoendes vielen. De PO's zijn ware
kunstwerken geworden. Heel grote inzet, slechts af en toe problemen
met het samenwerken, en keurig verzorgd en bijna allemaal op tijd:
hoge cijfers dus. Wat misschien een rol heeft gespeeld is dat de
leerlingen erg relaxed waren ten opzichte van mij. Ik ben actuaris van
beroep en had toen ik in deze klas begon geen onderwijservaring, was
net aan de opleiding tot 1e graads docent begonnen en moest zelfs nog
een tentamen afleggen om formeel 'vakbekwaam' te verklaard te worden.
De leerlingen wisten dit en merkten ook dat ik iets desnoods met
plezier 25 keer uitlegde net zolang totdat ze het helemaal snapten. Ik
hoor vaak dat het programma overladen is, maar heb dat zelf niet zo
ervaren. Ik vond het goed te doen. Wat ik wel gedaan heb is het werken
met de GRM uit de stof halen en hier een PO van maken: twee vliegen in
een klap.
Om de stof interessant te maken heb ik geprobeerd aansluiting te
zoeken bij de toekomstige praktijk van deze leerlingen. Veel van hen
zijn erg artistiek. Een andere grote groep gaat na het eindexamen naar
de Pabo.

Olivia Wollrabe.

-------------------------------------------------------------

- REACTIE (2) OP NOODKREET TWEEDE FASE HAVO CM-EXAMEN

Op de school waar ik werk gebruiken we "Getal & Ruimte". We houden uit
CM/EM 1 een toets over elk hoofdstuk en uit CM/EM2 een toets over twee
hoofdstukken tegelijk, waarvan de cijfers dubbel tellen. In principe
kan een leerling elke toets herkansen, met dien verstande dat een
leerling uit elk kwartiel (= half semester) in totaal twee toetsen mag
herkansen van alle in dat kwartiel voor alle vakken gemaakte toetsen.
De toetsen voor WA1 zijn niet dezelfde als voor WA12, ze zijn meestal
wat korter, met wat minder diepgang. Dit zijn zeker niet de toetsen
uit de toetsbundels bij de boeken, die zijn echt voor WA1-leerlingen
te hoog gegrepen. Het niveau is ongeveer tussen de diagnostische
toetsen en de afsluitende opgaven in het boek in gelegen. Getracht
wordt aan te sluiten bij de manier van vragen in die opgaven. De
leerlingen maken ook nog een PO. Bij de beoordeling daarvan wordt van
de WA1-leerlingen minder geëist dan van de WA12-leerlingen. We
proberen hen bij het maken ervan zodanig te begeleiden dat er een
cijfer kan ontstaan, waarmee in combinatie met de toetscijfers een
onvoldoende op het SE vermeden kan worden. Is het eindresultaat toch
onvoldoende, dan kan de leerling (die alleen in het 4e jaar WA1 heeft,
een half jaar 3 contacturen en een half jaar 2 contacturen) na de
vakantie een herexamen doen. Het herexamen bestaat uit een 4- of 5-tal
vragen uit de afsluitende opgaven alleen uit CM/EM 2, zoals die aan
het eind van elke paragraaf voorkomen. Dat hoeven niet letterlijk
dezelfde vragen te zijn (maar het kan wel), de context of de
"getallen" kunnen veranderd zijn, maar het type vraagstelling is
hetzelfde, dus herkenbaar.
In het eerste jaar hadden we 25 WA1-leerlingen: 2 bleven er zitten
(beide met een onvoldoende, maar dus niet alleen voor WA1, ook ANW,
DU, EC1 resp. DU, EC1, MO) en 4 deden aan het herexamen mee, waarvan
er 3 slaagden in de opzet: een voldoende voor het SE. Dit jaar hoeven
nog maar 2 leerlingen (van de 18, waarvan er 1 bleef zitten) een
herexamen te proberen: we slagen er steeds meer in om met toetsen en
PO het cijferbeeld in de hand te houden.
Het was ongetwijfeld de bedoeling om het HAVO door middel van de
Tweede Fase naar een wat hoger niveau door te laten stoten (niet
alleen meer vaardigheden, maar ook "knappere" leerlingen) zodat de
leerling meer succes zou kunnen boeken in het HBO. En het is
ongetwijfeld een nobel streven om de gemiddelde HAVO-er bij wijze van
algemene ontwikkeling toe te rusten met een hoeveelheid wiskunde,
variërend van een beperkte hoeveelheid bij WA1 tot een pittig niveau
bij WB12. Maar met het geringe aantal contacturen en de toch nog
aardige hoeveelheid stof is het een (te) moeilijke klus om alle
WA1-leerlingen op het niveau te laten eindigen dat de Tweede Fase
veronderstelt. Je hebt geen tijd om zaken echt te gaan behandelen, te
bespreken, samen met de leerlingen door te nemen, klassikaal na te
kijken en puntjes op de i zetten en op die manier de leerlingen
adequaat voort te helpen. Het is nu met een studieplanner en
uitwerkingen zelfstandig werken en je coacht alleen nog individueel.
Vooral in drukke toets- of PO-tijden valt er dan niet veel meer te
coachen, want dan valt alle voortgang weg. En dan moet later alles
alsnog in snel tempo ingehaald worden... of uitgesteld tot de
herkansingstoets. Daar leren deze WA1-leerlingen geen wiskunde mee!
Dat vraagt een andere aanpak, maar die is niet meer mogelijk. Dus
passen we ons maar anders aan.
Je ziet bij deze zwakke broeders en zusters trouwens vakken als ANW ,
M&O en EC1 mee de mist in gaan, want ja, lukt de wiskunde niet erg,
dan gaan die vakken ook vaak slecht.
Onze WA1-leerlingen hebben veel moeite als de zaken te abstract worden
of te ingewikkeld, zoals bij kansrekening en de normale verdeling. De
statistiek gaat nog wel, tabellen, grafieken en formules wil ook nog,
maar exponentiele groei wordt al erg moeilijk en veranderingen
tamelijk abstract. Overigens, WA12-leerlingen pakken kansrekening en
normale verdeling ook moeilijk op, het blijft allemaal in het leren
van het juiste trucje op het juiste moment steken.
Ook daar wreekt zich het relatief hoge tempo door te weinig
contacturen en het teveel stof te veel zelfstandig moeten doornemen.
Daar zijn deze leerlingen op dit niveau niet aan toe: daar hoort nog
echt voordoen, uitleggen, aanscherpen, wijzen op hoofd- en bijzaken,
trainen en herhalen bij. Dat doe je niet, dat kun je niet zelfstandig.
Maar een examen wat goed te doen was als je over enige tot redelijke
algemene wiskundige (en flessen- resp. schoenveter-)vaardigheden
beschikte redde onze leerlingen, onszelf en het vak alsook de Tweede
Fase is een succes op die manier!! Dus zo doe je dat!

E.S. Korthof
docent wiskunde Ichthus College, Enschede

-------------------------------------------------------------

- REACTIE OP NOODZAAK VAN DIFFERENTIËREN
In de WiskE-brief van 17 juni stelt Gerard Koolstra de vraag of
differentiëren in het vwo veel minder aandacht behoeft.
Daar wil ik ook graag nog kort op reageren.
Uit mijn bijdrage over Gr en CSE moge blijken dat ik er een
voorstander van ben
dat differentiëren tot en met de kettingregel grondig wordt behandeld.
Ook het bewijs van de regels met behulp van de definitie voor
afgeleide. En daar zijn verschillende redenen voor.
Als we willen dat er nog wat leerlingen wiskunde gaan studeren is het
toch het minste dat je ze op de middelbare school al laat ervaren hoe
mooi wiskunde eigenlijk is en hoe krachtig de bewijsvoering bij dit
vak.
Daarnaast zijn er vraagstukken, met name bij een functie met
parametervoorstelling waar je niet 'de' afgeleide op de GRM kunt laten
verschijnen. En bij bewijzen zijn we toch ook niet tevreden als de
leerling op zijn GRM kan laten zien 'dat het klopt' in een of meer
bepaalde gevallen.
En bij het differentiëren blijkt dat vaardigheid in het rekenen met
machten, het rekenen met logaritmen, met goniometrische formules en
niet te vergeten met wortels en met breuken onontbeerlijk te zijn. Die
dienen dus ten minste vanaf klas 4 in het Vwo en in iets mindere mate
in het Havo nadrukkelijk aandacht te krijgen.
Deze vaardigheden maken het overigens noodzakelijk meer dan voorheen
klassikaal les te geven. Je hebt nu minder contacttijd (Is overigens
ergens bekend hoe in Nederland op de verschillende scholen de
contacttijd is verdeeld voor wiskunde over de leerjaren nu we twee
jaar bezig zijn?) en moet een aantal vaardigheden en
probleem-oplos-strategieën aanleren die de leerlingen zich niet zonder
hulp binnen de beperkte tijd kunnen aanleren. Leerlingen geven zelf
aan dat wiskunde niet een vak is wat je zelfstandig kunt bestuderen.
Je loopt veel te vaak vast en de theorie is zonder uitleg niet
duidelijk. Voor het aanleren van zelfstandig studeren zul je andere
wegen moeten zoeken. Die zijn zeker ook mogelijk binnen het
wiskunde-onderwijs. Maar dat is weer een heel ander onderwerp.
Daarover wellicht een volgende keer.

Rens Houtman, Kalsbeek College, Woerden

-----------------------------------------------------

- REACTIE OP WERKDRUK

Peter Kop heeft een berekening gemaakt van zijn werkelijke werklast
bij een lesuur van 45 minuten. Hij komt uit op 167 uren voor 3 lessen
van 45 minuten, een aantal dat zo'n 25 % hoger ligt dan de 133 uren (3
x 44,3 uur) die hij ervoor krijgt 'betaald'.
De afgelopen weken wordt op onze school een discussie over de zwaarte
van de lestaak gevoerd. Op dit moment wordt een les van 50 minuten
gehonoreerd met 46 klokuren op jaarbasis.
In het kader van die discussie had ik de volgende berekening gemaakt.
Tweede fase les wiskunde (26 leerlingen) voor ervaren leraar in 5VWO:
- proefwerk maken: 2 uur per hoofdstuk = 12 lessen, dus 2/12 uur
per les = 10 minuten
- voorbereiding ca 4 uur per hoofdstuk = 12 lessen, dus 4/12 uur per
les = 20 minuten.
- nawerk: vooral proefwerken nakijken: per 12 lessen 1 proefwerk van 3
uur dus 15 minuten per les
- per 3 hoofdstukken een praktische opdracht van minstens 5 uur werk
(opstellen en nakijken) = 5/(3x12) uur per les = 14 min.
Effectief kost een lesuur de leraar 50 + 10 + 20 + 14 = 94 minuten =
1,57 uur
Dat is 1,57 x 37 = 57,97 uur op jaarbasis.
En dan is hier nog niet rekening gehouden met alle lesgeboden taken
die ook nog de nodige tijd kosten door het jaar heen.
Een heel andere benadering van de rekenwijze, maar het resultaat komt
neer op een werklast (58 uur) die ook zo'n 25% uitkomt boven de ervoor
staande vergoeding (46 uur).
Wel moet opgemerkt dat de eerste jaren van invoering deze werklast
ongewoon hoog is. Na enkele jaren zal er minder vaak een nieuw
proefwerk moeten worden gemaakt en liggen er de nodige praktische
opdrachten die je ook niet elke keer weer helemaal opnieuw moet maken.

Rens Houtman, Kalsbeek College, Woerden

----------------------------------------------------
----------------------------------------------------

WiskundE-brief
redactie Jos Andriessen en Gerard Koolstra
e-mail: j.andriessen@hccnet.nl of g.koolstra@chello.nl